Использование критерия Треска — Сен-Венана

Из § 23 следует, что так же, как и в теории пластичности, решение задачи установившейся ползучести при плоском напряженном состоянии (диск) сложнее, чем при плоской деформации (толстостенная труба). Для осесимметричных задач плоского напряженного состояния возможно упрощение решений путем использования критерия Треска — Сен-Венана. Этот вопрос был исследован в статье В. И. Розенблюма [801. В работах Ю. В. Немировского [64, 651 для’решения таких задач применен критерий максимального приведенного напряжения.

При использовании критерия Треска — Сен-Венана потенциал деформаций ползучести может быть представлен в виде.

причем а, > а₂ «о₃.

Используя ассоциированный закон течения (3.1) и соотношение (4.108), получаем ej = А; е? = 0;

^ез ⁼ —.

Поскольку в частном случае одноосного растяжения зависимость деформации ползучести от напряжения имеет вид (1.10), получаем, А =.

— (а, — а₃)^л ilfo’l и, следовательно,.

Рис. 4.25. Графическое изобра-

Последние соотношения могут жение условия Треска—Сеибыть использованы для расчета враВенана щающихся дисков.

В случае равномерно нагретого диска с отверстием, когда а, = а, а₂ = о_п о₃ = 0, согласно соотношениям (4.109).

В соответствии с зависимостью (4.80) получаем.

Использование дифференциального уравнения движения диска и краевых условий для радиальных напряжений совместно с соотношением (4.110) позволяет определить радиальное и окружное напряжения.

Если диск без отверстия, то в окрестности центральной точки (круг радиусом г_г) о, = о_п что соответствует ребру с призмы Треска — Сен-Венана (рис. 4.25). Ребро с является пересечением плоскостей ас и се.

Для точек плоскости ас о_д = о, о₂ = о, а₃ = 0, и согласно формулам (4.109)

Для точек плоскости се а, = а_г, <�т₂ = а, а₃ = 0, и по соотношениям (4.109).

Как известно 150], течение на ребре получается комбинацией течений справа и слева от ребра, т. е. на ребре с

Полагая А, + К" = 1 и учитывая, что а, = а_п получаем в точках ребра с

в? = X, (Рг/о*)^п ?2; 4 = (1 — A,) (ст_г/ст,)^пй;

Рис. 4.26. Схема нагружения бесконечной пластины осесимметрично относительно центра отверстия силами, приложенными на контуре пластины (на бесконечности).

причем 0 с X «1.

Таким образом, если диск без отверстия, возможны две области: 0 «г «: г_х и г, < г < г_г. В первой имеют место соотношения (4.111), а во второй — (4.110).

Подробное изложение решений задач установившейся ползучести дисков на основе этих соотношений приведено в работе Л. М. Качанова [371.

В качестве примера рассмотрим растяжение бесконечной пластины с отверстием силами, приложенными на бесконечности осесимметрично относительно центра отверстия в условиях плоского напряженного состояния (рис. 4.26). В этом случае

причем радиальное перемещение и^с является функцией только времени и от радиуса не зависит.

Из выражения (4.110) устанавливаем закон изменения окружного напряжения по радиусу.

Дифференциальное уравнение равновесия элемента пластины (4.79) может быть представлено в форме (го,) — а, = 0.

Подставим в это уравнение соотношение (4.112), получим Проинтегрировав это уравнение, найдем.

Использовав краевое условие: при г = г_х а, = 0, устанавливаем, что

Следовательно,.

Как следует из формул (4.112) и (4.113), при увеличении радиуса окружное напряжение уменьшается, а радиальное возрастает. Однако радиальное напряжение не может быть больше окружного, так как это означало бы равенство нулю радиального перемещения.

Рис. 4.27. Зависимость коэффициента концентрации напряжений от величины и для пластины, изображенной на рис. 4.26.

Найдем радиус окружности г*, в точках которой радиальное и окружное напряжения равны. Приравнивая соотношения (4.112) и (4.113), получаем При г < г* законы изменения окружного и радиального напряжений определяются формулами (4.112), (4.113). При г > > г* они равны, и, как следует из краевого условия, при г -*? оо а, -*? р, поэтому при г > г* a_t = а_г = р.

Приравняв окружное напряжение при г = г* величине р, получаем и, следовательно, и^е — pⁿr*Qta1.

Используя соотношения (4.115) и (4.114), преобразуем формулы для напряжений (4.112) и (4.113) к окончательному виду:

Из формулы (4.116) следует, что наибольшее окружное напряжение имеет место в точках внутреннего контура при г = г, и коэффициент концентрации напряжений k = п'^^п-•>. На рис. 4.27 представлен график зависимости его от показателя степени п.

При и = 1 k = lim ««/<�"—о = _е = 2,718.

л-И Как известно, в пределах упругости k — 2. Таким образом, в этом случае погрешность рассмотренного решения составляет 36%, т. е. весьма значительна.