Устойчивость методов Рунге — Кутты

Для исследования устойчивости методов Рунге — Кутты (для численного решения задачи (5.1)) представим ее дискретный аналог в виде.

В формуле (5.8) правая часть F носит название функции приращения метода. Она связана с вспомогательными векторами метода Рунге — Кутты очевидным образом F (u_n) = b_{k_{ +… + 6_rk_;., а весовые коэффициенты метода b и вспомогательные векторы к определяются конкретным методом Рунге — Кутты (5.4).

Теорема 5.2 (об устойчивости методов Рунге — Кутты^{1 *}). Пусть F (x) в формуле (5.8) Липшиц-непрерывна, т.е. ||F (x) — F (y) || < С||х — у ||, причем С * С (т) и Ст 1. Тогда разностное уравнение (5.8) устойчиво и имеет место оценка

Здесь u", v" — решения близких разностных задач.

и 8 — максимальная погрешность при вычислении правой части системы, т.е. для всех п (включая ноль) Це* || < ?, Цг* || < г.

Доказательство. Рассмотрим эти близкие уравнения. Вычитая из первого уравнения второе, получим.

или, учитывая условие Липшица,.

Далее, применяя последовательно это неравенство, получим оценки.

Ризниченко Г. Ю. Указ, соч.; Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов И. С. Указ.

откуда после суммирования прогрессии имеем.

Далее полагаем (1 + Ст)^п = (1 + Ст)^^т ~ е^апри Сх<�к.

После подстановки экспоненты в последнюю оценку получим неравенство (5.9). •.

Поскольку при доказательстве теоремы 5.2 мы пользовались нормами, а не модулями, оценка (5.9) верна и для случая системы ОДУ. Заметим, что экспоненциальный множитель в неравенстве (5.9) при больших t велик, а оценка в наиболее общем случае, в предположении Линшиц-ненрерывности функции F (u), неулучшасмая. Однако в некоторых важных частных случаях эту оценку можно улучшить, анализируя более «тонкие» свойства рассматриваемой функции. Докажем следующее утверждение^[1], рассматривая задачу Коши для системы ОДУ.

Утверждение 5.1. Пусть матрица.

строго отрицательна, т. е. (А (и)?, ?) < -а (?, ?) для любых ?, и и а > 0 (траектория, в окрестности которой выполняется это условие, называется устойчивой). Тогда при интегрировании методом Рунге — Кутты k-то порядка аппроксимации погрешность приближенного решения есть 0(т*) при любом t > 0.

Утверждение будет доказано, если в оценке устойчивости метода не будет содержаться множитель е^Сг.

Доказательство. Из полученного в теореме 5.2 неравенства (5.9) имеем.

где F (u) — правая часть в записи метода Рунге — Кутты для систем ОДУ.

Оценим норму разности в правой части неравенства, используя более точные свойства функции F (u), чем Липшиц-непрерывность:

Здесь произведена замена переменных u(s) = v + $(и — v).

Поскольку

то получаем, что.

Оценим норму ||E + xF' ||. Для этого сначала оценим квадрат нормы:

Здесь использовано определение нормы матрицы, рассматриваемое в функциональном анализе:

где В — матрица; С, — вектор из рассматриваемого векторного пространства.

При малых т, пренебрегая 0(т²), из последнего неравенства получаем требуемую оценку:

Тогда из формулы (5.10) имеем.

откуда ||и_и+1 — v"₊₁1| < (1 — Ст)||и" - vj + 2те.

Рассмотрев, как и ранее, цепочку неравенств.

получим.

или.

Утверждение доказано. •.

Пусть теперь (А (и)^, < 0, г. е. рассматриваются нейтральные, или.

«не неустойчивые», траектории исследуемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае аналогичным образом показывается, что

откуда.

Для метода k-ro порядка аппроксимации г = 0(т^к), к > 0. В этом случае решения близких систем на и-м шаге по времени отличаются на величину.

Отсюда очевидно, что при п ~ т~² (или t" = пт ~ т^-1) численное решение имеет точность 0(т*^-1). Другими словами, на конечных интервалах времени t ~ 0(1) точность метода 0(т^к), на больших же временах t ~ 0(т^-1) точность понижается до t ~ 0(т*^-1).

Такие случаи возникают, когда имеется необходимость проводить численные расчеты при исследовании процессов с большим количеством колебаний, вращений и т. д. Важно отметить то, что оценки погрешности численного решения получены с использованием более сильных, чем условие Липшиц-непрерывности, свойств правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений.

Внимательный читатель наверняка обратил внимание на один логический дефект приведенных в данном параграфе доказательств. Действительно, в теоремах использовались свойства Липшиц-непрерывности функции в правой части системы ОДУ, а в доказательствах фигурирует тесно связанная с ней функция приращения метода Руте — Кутты, стоящая в правой части выражения (5.8). Этот дефект легко снимается, если при доказательствах воспользоваться следующим результатом.

Лемма 5.1. Пусть С — постоянная Липшица для функции правых частей системы (5.1), тогда функция приращения F (u) для метода (5.8) удовлетворяет следующему неравенству:

где.

Суммирование в правой части последнего равенства ведется по каждому индексу от 1 до г — числа стадий метода. Число сумм в скобках, конечно, тоже равно г. Отметим также, что если в таблице Бутчера все коэффициенты неотрицательны, то из условий порядка (аппроксимации) будет следовать, что в скобках стоят первые г членов разложения е^Сх в ряд Тейлора. Отсюда необходимое требования к малости Ст. В случае наличия отрицательных коэффициентов в таблице Бутчера константа Липшица С₂ увеличится незначительно.

Доказательство данной леммы довольно простое, но громоздкое. Над ним предлагается подумать читателю. В качестве упражнения читателю предлагается сформулировать и доказать аналогичную лемму для случая устойчивой траектории.

• [1] Федоренко P. П. Указ. соч.