Соотношение риска и доходности портфеля. 
Граница эффективных портфелей

Обратимся к формуле (3.6) риска портфеля:

Как очевидно из этой формулы, суммарный риск портфеля содержит две составляющие. Первая составляющая отражает собственные риски каждой акции портфеля. Входящие в нее величины возведены в квадрат: и . Значит, первая составляющая всегда неотрицательна. Вторая составляющая характеризует риски взаимного влияния акций портфеля друг на друга. В нее входят ковариации , которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Тогда, изменяя содержимое портфеля, инвестор может воздействовать на его суммарный риск. Строго говоря, изменить содержимое портфеля можно тремя способами:

• а) менять эмитентов акций портфеля, не изменяя при этом количество п включенных в портфель ценных бумаг;
• б) менять (обычно — увеличивать) количество п включенных в портфель акций;
• в) менять веса Wi выбранных п акций портфеля.

Процесс изменения содержимого портфеля одним из трех указанных способов с целью снижения риска портфеля называется диверсификацией портфеля. Диверсификация как процесс изменения содержимого портфеля должна пониматься с учетом того, что варианты формирования портфеля бесконечно повторяются. Только с этим допущением можно добиться основного предназначения диверсификации — снижения риска без существенного снижения ожидаемой доходности формируемого портфеля.

Можно доказать, что путем диверсификации часть суммарного риска портфеля может быть снижена. Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым или несистематическим риском, т. е. данная составляющая риска портфеля образует его диверсифицируемую (несистематическую) часть. Несистематический риск обусловлен воздействием факторов на микроуровне (уровень эмитента или отрасли). Другая доля риска портфеля не устраняется диверсификацией, и она носит название недиверсифицируемого или систематического риска. Этот вид риска обусловлен воздействием факторов на макроуровне — изменение ВВП, уровень процентных ставок и инфляции, политические события и т. п.

Когда в портфель войдут все ценные бумаги, обращающиеся на финансовом рынке, то будет сформирован так называемый рыночный портфель. Риск рыночного портфеля является только систематическим.

Пусть инвестор объединил в портфель п акций и задал два начальных условия:

• 1) длительность будущего холдингового периода;
• 2) количество N шагов расчета в прошлом.

Тогда по известным алгоритмам он может вычислить три необходимые характеристики каждой акции портфеля:

• а) ожидаемой доходности E(ri);
• б) дисперсии ;
• в) ковариации /

Пусть затем инвестор произвольно задает какую-то комбинацию весов Wi акций портфеля, соблюдая при этом условие.

В результате будет сформирован какой-то портфель, который обозначим портфелем К. Для этого портфеля по приведенным выше формулам можно рассчитать ожидаемую доходность Е(rK) и риск ?K. После этого возьмем координатную плоскость, у которой по осям отложены величины стандартного отклонения ??? и ожидаемой доходности E(rпортф), и отложим на ней точку с координатами (Е(rK); ?K) (рис. 3.1).

Изменим веса выбранных п акций, в результате чего будет сформирован другой портфель, например портфель N, для которого также можно вычислить величины E (rN) и? N. Перенеся эти значения па график, получим точку ?. Процесс изменения весов выбранных п акций портфеля можно продолжать. Если сделать допущение, что любую акцию портфеля можно разделить на неограниченное число частей и инвестор в состоянии приобрести любую часть акции, то тогда из ограниченного набора акций, выбранных инвестором, можно путем варьирования их весов получить бесконечное количество портфелей. Допущение о делимости акций является последним допущением 6 модели Марковица.

Рис. 3.1. Область существования портфелей.

Будем для каждого такого портфеля находить его ожидаемую доходность и стандартное отклонение и ставить в соответствие каждому портфелю точку на координатной плоскости. Доказывается, что все эти точки окажутся внутри замкнутой области — области существования портфелей (заштрихованная область на рис. 3.1). В зависимости от количества и характеристик акций, входящих в портфель (ожидаемые доходности, дисперсии, коэффициенты корреляции) эта область существования портфелей может смещаться влевовправо или вверх-вниз, поворачиваться, становиться более пологой или более крутой.

Цель любого инвестора — составить такой оптимальный портфель ценных бумаг, который обеспечивал бы максимально возможную полезность с точки зрения взаимосвязи доходности и риска. Как достичь этой цели инвестору? Ведь если он решит сформировать единственный оптимальный портфель из неограниченного количества портфелей, сформированных на базе выбранных п акций, и в попытке найти оптимальный портфель начнет перебирать все возможные портфели, то это явно бесперспективное занятие.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в сформулированной Г. Марковицем теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности портфелей. Согласно этой теореме из всего бесконечного набора портфелей, сформированных из п выбранных акций, инвестор должен выбрать такой портфель, который удовлетворяет одному из двух условий:

• 1) обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом выбранном уровне риска;
• 2) обеспечивает минимальный риск для каждой выбранной величины ожидаемой доходности.

Портфели, удовлетворяющие этим условиям, Марковиц отнес к эффективным портфелям.

Суть теоремы Марковица сводится к следующему: если инвестор выбрал п акций со своими характеристиками [Е(ri); ; , где i, j= 1, 2,…, n], задал какое-то значение ожидаемой доходности портфеля E(rпортф), равное какой-то константе Е* (например, Е* = 0,08), то найдется только одна комбинация весов акций в портфеле (т.е. единственный портфель), когда риск портфеля при заданном значении доходности E(rпортф) = Е* окажется минимальным. Этот портфель удовлетворяет второму условию теоремы Г. Марковица, т. е. является эффективным.

Если менять величины Е* и каждый раз находить тот единственный эффективный портфель, риск которого минимален, то получим набор эффективных портфелей, так называемое эффективное множество. Если каждому портфелю из эффективного множества поставить в соответствие точку на координатной плоскости, то получим линию — так называемую границу эффективных портфелей. Графически граница эффективных портфелей представляет собой левую границу области существования портфелей.