Отношения предпочтения для сужения множества Парето — Эджворта

Построенное в гл. 9 множество Парето — Эджворта РДХ) (множество недоминируемых вариантов) можно сузить, используя количественные формы выражения важности, которые были даны в параграфе 12.4 в двух формах: либо в виде степени превосходства h одного частного критерия f_k{x) над другим, либо в виде коэффициентов важности р_А>. Иначе говоря, дополнительная информация о важности частных критериев позволяет добиться дальнейшего сужения множества Парето — Эджворта РАХ), представляющего собой сужение исходного множества альтернатив X. Как и в задаче о выделении P_f{X) из Х_у алгоритм основан на исключении доминируемых альтернатив, поэтому результаты проще и нагляднее представляются в критериальном пространстве, т. е. вместо множества Pj (X) рассматривается его образ — фронт Парето. Для этого требуется ввести дополнительное предположение об инвариантности отношения предпочтения и связанное с ним понятие конусных предпочтений.

Определение

Отношение предпочтения > называется инвариантным относительно линейного положительного преобразования, если для произвольной пары векторных оценок*/',у" е R^m, y' =/(х'),у" = /(*")> одна из которых доминирует другую (*/' > у", т. е. х' > х"), имеет место соответствующее соотношение доминирования (ау' + с) > (ау" + с), где, а — любое положительное число, с е R^m — произвольный вектор критериального пространства.

Смысл свойства инвариантности заключается в том, что изменение точки отсчета и масштаба у пары измеряемых величин не влияет на отношение предпочтения между ними:*/' >у". Во многих практически важных задачах многокритериального выбора такие свойства шкал измерения полагают выполненными, поэтому предположение об инвариантности относительно линейного положительного преобразования принимают в качестве аксиомы.

Аксиома инвариантности

Отношение предпочтения инвариантно относительно линейного положительного преобразования.

Важный пример инвариантных отношений предпочтения дает класс конусных предпочтений^[1]. Термин «конус» используется здесь не в общепринятом геометрическом значении (как тело вращения, образуемое вращением прямого луча вокруг оси), а как конус в действительном векторном пространстве R^m. Такое понимание конуса формализуется следующим определением^[2].

Определение

Конусом в пространстве R^m (с вершиной в начале координат О) называется множество точек К a R^m, для каждой точки которого у е К, и для любого положительного числа X > 0 все точки Ху также принадлежат конусу: Ху е К.

Смысл данного определения — такой же, какой и в выпуклом анализе: конус вместе с любой точкой у содержит и луч (за исключением начальной точки О), выходящий из начала координат О и проходящий через точку у. С точки зрения этого определения понятие конуса — обобщение понятия угла предпочтения — геометрически наглядного приема, использовавшегося нами в гл. 9 при нахождении Парето-оптимальных точек на плоскости двух критериев, при т = 2. Главное отличие конуса при т = 2 от угла предпочтения отвечает свойству инвариантности относительно линейного положительного преобразования: угол при вершине может быть любым — острым или тупым, а не только прямым. Действительно, при линейном положительном преобразовании углы могут изменяться, хотя любой луч преобразуется также в некоторый луч, т. е. стороны угла преобразуются опять в стороны угла.

При т = 3 угол предпочтения превращается в первый октант (одну восьмую часть трехмерного критериального пространства), а в многомерном случае — в соответствующую часть (ортант) wz-мерного пространства критериев Rⁿ. При линейных преобразованиях форма таких множеств может искажаться (точно так же, как прямые углы могут становиться острыми или тупыми), но во всех случаях эти множества согласно данному выше определению — конусы, представляющие собой пересечение конечного числа полупространств. Такие конусы называют многогранными (полиэдральными).

На введенном понятии конуса базируется определение конусных отношений предпочтения.

Определение

Отношение предпочтения между векторными оценками уу" € R"^! называется конусным отношением, если для любой пары векторных оценок у', у" соотношение предпочтения у' > у" равносильно тому, что разность у' - у" содержится в некотором конусе К с вершиной в начале координат: г/' — у" е К.

Конусное отношение предпочтения задает отношение порядка у' > у" в пространстве R^m, причем, как и введенное в гл. 9 формулой (9.1) отношение порядка, базирующееся на бинарном отношении порядкаy_t > у* в R не вводит линейной упорядоченности в R^m. Однако оно, как и прежде, остается и при т > 2 отношением строгого частичного порядка, т. е. обладает свойствами антирефлексивности (у > у), антисимметричности ((у' > у") А, А (у" ^>У') =* (у' ⁼ У")) ^и транзитивности ((у' >у") А (у" >у^{, п}) => (у^[2] >у'")) —

Поэтому отсутствие линейной упорядоченности не препятствует распространению понятия доминирования и на этот случай.

Определение

Векторная оценка г/' называется доминирующей по отношению к у" , а у"  — называется соответственно доминируемой, если эта пара оценок удовлетворяет конусному отношению предпочтения: у' > у" .

Геометрически доминируемость для конусного отношения предпочтения при т = 2 проверяется точно так же, как и обычное доминирование (рассмотренное в гл. 9) — с помощью угла предпочтения. Но прямой угол предпочтения заменяется при этом конусом, т. е. острым или тупым углом. Иными словами, соотношение у' > у" выполнено, если точка у" окажется внутри конуса К с вершиной в точке у' (подразумевается параллельный перенос исходного конуса К так, чтобы вершина переместилась из начала координат в точку у').

Обратите внимание!

Рассматривавшийся в гл. 9 прямой угол — частный случай конуса предпочтения, поэтому новый подход на базе конусного отношения предпочтения по своей сути схож с прежним. Общим остается способ проверки доминируемое™ альтернативы — достаточно установить, есть ли другие альтернативы в пределах конуса (или угла) предпочтения. Но имеется важное отличие: предпочтение у' > у" теперь уже не может быть записано в простой и наглядной форме у > у" ,

у'₂ > у.…у'", > у" _т, как было сделано в гл. 9. Это означает, что предпочтения Л П Р определяются теперь не только аксиомой Парето, но и некоторыми дополнительными соображениями, которые записываются в виде линейных ограничений. Эти ограничения формируют границы конуса предпочтения.

Рис. 12.1. Конус предпочтения К_{ для дискретного множества из трех альтернатив в двумерном критериальном пространстве Н² и множество Парето — Эджворта дого из построенных тупых углов оказываются другие векторные оценки (в частности, точка у_х). Значит, г/₂ и г/₃ — доминируемые, т. е. они не входят в множество Парето — Эджворта. Аналогичное рассуждение для К₂ показывает, что доминируема лишь альтернатива у₃.

Таким образом, множество Парето — Эджворта относительно данных конусных отношений предпочтения в рассматриваемом примере состоит для К_{ — из единственной альтернативы с оценкой г/, (см. рис. 12.1), а для К₂ — из двух альтернатив с оценками у, и у₂.

Подчеркнем, что сужение множества Парето — Эджворта обусловлено в данном случае тем, что конус предпочтения — тупой угол. В самом деле, более широкий угол (чем прямой) дает возможность исключить дополнительные точки. Например, в прямой угол с вершиной в точке у₃ не попадает ни y_v ни у_2У тогда как в конусы предпочтения (т.е. в тупые углы) попадают либо одна точкау₂ (для К₂), либо обе эти точки (для К_{). Тем самым у_ъ в обоих случаях исключается из множества Парето — Эджворта.

Однако, несмотря на то, что конус предпочтения геометрически представляет собой тупой угол, такой конус принято называть острым — в том смысле, что он не содержит противоположно направленных лучей.

Определение

Конус называют острым, если он не содержит ни одной пары противоположных векторов у', у" е R^m, т. е. таких векторов, что у' = -у" .

В частности, в соответствии с данным определением при m = 3 неотрицательный ортант — острый конус, а полупространство — конус, не являющийся острым. Понятие острого конуса требуется не для геометрической интерпретации множества Парето — Эджворта, а для согласования с инвариантностью, с которой мы начали параграф 12.5.

Приведем (без доказательства, которое можно найти в литературе^[4]) утверждение, связывающее конусные отношения предпочтения с рассмотренной ранее инвариантностью относительно линейного положительного преобразования.

Для того, чтобы отношение предпочтения было конусным отношением с острым выпуклым конусом К, необходимо и достаточно, чтобы оно было инвариантно относительно линейного положительного преобразования и для него выполнялась аксиома Парето.

Эта теорема позволяет с помощью аксиомы инвариантности установить, является ли то или иное отношение предпочтения конусным.

Покажем теперь, как информацию об относительной важности (приоритете) критериев использовать совместно с геометрическим анализом для сужения множества Парето — Эджворта на основе понятия конусного отношения.

• [1] Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход.М.: Физматлит, 2005. 176 с.; Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решениямногокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007. 256 с.
• [2] Математическая энциклопедия: Конус [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2403 (дата обращения: 04.08.2015).
• [3] Математическая энциклопедия: Конус [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2403 (дата обращения: 04.08.2015).
• [4] Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход.