Метод Блэка – Шоулеса

Как показано, биномиальный метод можно применять, если предположить, что в течение годичного периода цена акции меняется не один раз (на практике именно это и происходит). В таком случае первоначальный период можно разбить на ряд интервалов, и каждый последующий результат представить как следствие многочисленных биномиальных решений в предыдущие интервалы.

Теоретически, если будут заданы все начальные характеристики опциона, то, проведя расчеты от конца дерева к началу, можно найти стоимость опциона в начальный момент t = 0.

Блэк и Шоулес вывели формулу оценки опциона для случая, когда длина интервала стремится к нулю. Если при этом предположить, что непрерывно начисляемая доходность акции распределена по нормальному закону, то, как доказали Блэк и Шоулес, цена опциона на покупку (С) может быть вычислена по формуле.

(6.7).

где 5 — наблюдаемая рыночная (текущая) цена акции; Ф (x) — функция распределения для стандартной нормальной переменной (определяется по таблицам); ; ; К — цена реализации опциона; r — непрерывно начисляемая безрисковая ставка процента;? — стандартное отклонение доходности акции;? — время действия опциона па покупку.

Несмотря на «устрашающий» вид, формула (6.7) отражает уже известный факт:

Если цена акции станет значительной, то величины d1 и d2 возрастут и функции ?(d1) и Ф(d2) устремятся к единице. В этом случае цена опциона будет равняться цене акции за вычетом приведенной стоимости цены реализации опциона:

— вывод, который был получен ранее. Напомним, что эта формула применима только для европейских опционов с учетом предположения, что за время действия опциона по основной акции не выплачиваются дивиденды.

Как следует из формулы (6.7), для нахождения цены опциона на покупку необходимо задать пять начальных параметров:

• 1) цену акции 5;
• 2) цену реализации опциона К;
• 3) срок окончания опциона I;
• 4) безрисковую ставку процента r;
• 5) стандартное отклонение? доходности основной акции.

Первые четыре параметра известны в исходный момент, а вот величину? надо находить. Причем, формула (6.7) показывает, что стоимость опциона сильно зависит от величины ?. На практике используют два метода оценки ?: можно взять значения доходности акции за прошедший период (от 30 до 90 дней — профессионалы предпочитают оперировать дневными значениями rf и ?, считая, что в этом случае формула Блэка — Шоулеса дает более точные результаты) и по ним вычислить? ex post, т. е. стандартное отклонение уже реализованных доходностей, которое и использовать в формуле (6.7). По второму методу для нахождения? берется цена опциона в предыдущий день, подставляется в формулу (6.7), и уравнение решается относительно неизвестной ?. К сожалению, прямое решение этого уравнения невозможно, поэтому необходимо использовать специальные методы вычисления.

Остановимся на возможности применения формулы Блэка — Шоулеса для опционов на покупку акций, по которым за время действия опциона должны выплачивать дивиденды. Чтобы применить формулу (6.7) для этого случая, необходимо цену акции S уменьшить на величину приведенной стоимости будущего дивиденда. При этом ставка дисконта равняется безрисковой ставке процента ту, поскольку величины дивидендных выплат являются установленными и лишены риска. Такой способ оценки применим к европейским и большинству американских опционов, кроме тех американских опционов, для которых срок реализации приходится непосредственно на день, предшествующий дивидендным выплатам.

Теперь рассмотрим, можно ли применять модель Блэка — Шоулеса для американских опционов. Если основная акция по американскому опциону не дает дивидендных выплат за время опциона, то возможность досрочной реализации опциона не влияет на его стоимость. Действительно, в этом случае нс имеет смысла реализовывать американский опцион раньше срока его окончания: пока опцион не реализован, имеется вероятность роста цены основной акции, поэтому цена опциона превосходит его подлинную (intrinsic) стоимость. Иными словами, досрочная реализация опциона дает меньше, чем его простая продажа. Поэтому американские опционы без дивидендов по основной акции эквивалентны европейским опционам, и для них может применяться формула Блэка — Шоулеса.

Иная картина наблюдается, если американский опцион приобретен на покупку акции, по которой за время действия опциона должны выплачиваться дивиденды. Владелец такого опциона всегда учитывает возможность реализации опциона непосредственно перед дивидендными выплатами, чтобы повысить отдачу инвестиции. Значит, подобные опционы должны иметь более высокую стоимость, чем бездивидендные. Однако владелец этого опциона реализует его только в том случае, если опцион дает прибыль (т.е. стоимость акции превосходит сумму цены реализации и опционной премии) и дивиденд достаточно велик. Если цена опциона близка к его подлинной стоимости, то инвестору может оказаться выгодным реализовать опцион, получить дивиденды, а затем продать акцию.

В принципе, если возможность выплаты дивидендов создает большие трудности, то целесообразно применить биномиальное дерево (рассмотренное выше), где можно учесть дивидендные выплаты в любое время.

Для оценки опциона на продажу используют следующую формулу:

Следует иметь в виду, что эта формула применима для европейских опционов и может дать неверные результаты для американских опционов. Объясняется это тем, что для владельцев опционов на продажу возможность досрочной реализации американских опционов имеет ценность вне зависимости от возможных дивидендных выплат. При понижении цены ниже цены реализации порой для владельца опциона на продажу бывает выгодно реализовать опцион и инвестировать полученную прибыль в безрисковое средство. Например, положим, что цена акции упала до 70 руб. В таком случае инвестор может счесть, что вероятность дальнейшего падения цены акции ничтожна и реализует опцион.

Для европейских опционов на продажу возможность дивидендных выплат может быть учтена в формуле (6.7) путем вычитания из цены акции приведенной стоимости дивидендов. Для американских опционов эта возможность также может быть использована, но она не в полной мере подходит для опционов, имеющих высокую прибыль в момент досрочной реализации.

Формула Блэка — Шоулеса стала широко используемой и профессионалами, и индивидуальными инвесторами. Она дает очень корректные оценки стоимости опционов.