Метод Ритца. 
Численные методы: введение в теорию разностных схем

Допустимые функции и минимизирующие последовательности. Численное решение вариационной задачи состоит в нахождении функции ш, которая, с одной стороны, удовлетворяет краевому условию (10.6), а с другой, с допустимой точностью минимизирует функционал (10.5). В реализации этой проблемы ключевыми являются понятия о допустимой функции и минимизирующей последовательности.

Допустимой функцией для задачи (10.5) — (10.6) называется функция, удовлетворяющая краевому условию (10.6).

Последовательность допустимых функций wn, обеспечивающая выполнение условия lim I (wn) ==> I (и) и, следовательно, схо;

N —"эс дг_>эс дящаяся к точному решению дифференциальной задачи ' —>

N—>оо.

—* а, называется минимизирующей последовательностью для задачи (10.5) (10.6). Способ построения минимизирующей последовательности составляет суть вариационных методов.

Покажем, как можно построить семейство допустимых функций на примере двухточечной краевой задачи.

Выберем систему линейно независимых базисных функций. Для того чтобы на их основе можно было построить допустимую для рассматриваемой краевой задачи функцию.

на базисные функции должны быть наложены некоторые ограничения. Рассмотрим их подробно. Первая и последняя из этого ряда базисных функций должны удовлетворять следующим условиям:

Остальные базисные функции должны принимать нулевые значения на границе промежутка.

Тогда, для того чтобы строящаяся допустимая функция удовлетворяла граничным условиям, необходимо положить «о = w_a» ajv+l = = иь- Остальные N коэффициентов a₇ могут выбираться свободно. Теперь при любом произвольном наборе коэффициентов a. j, j = = 1,2,…, А^г допустимая функция будет удовлетворять граничным условиям.

Изменяя значения коэффициентов aj, j = 1,2, можно варьировать функцию, оставляя при этом неизменными ее значения в граничных точках промежутка. Построенная таким образом допустимая функция может варьироваться за счет изменения коэффициентов. оставаясь при этом функцией, удовлетворяющей граничным условиям.

Показанный прием может быть обобщен и на краевую задачу для уравнения с частными производными. В этом случае граничные условия ставятся на границах двумерной (или многомерной) области, что может затруднить формулировку допустимой функции. Впоследствии будет показано, что в таких случаях есть удобный прием формулирования семейства допустимых функций на основе базисных, определенных на ограниченных носителях финитных функциях. Применение такого подхода снимает проблемы обеспечения граничных условий.

Метод Ритца. Этот метод, исторически первый, открыл семейство прямых методов решения вариационной задачи.

Рассмотрим для простоты случай, когда искомая функция принимает на границе области нулевое значение: иг = 0. Рассмотрим систему линейно независимых функций.

удовлетворяющих граничному условию.

Рассмотрим теперь N -мерное линейное пространство всевозможных линейных комбинаций, построенных из введенной системы функций

где а, • • •, адг — произвольные вещественные числа.

Будем искать минимум функционала I (w) на множестве функций из N -мерного пространства:

и найденное значение Й⁷дг, доставляющее минимум функционалу, примем за приближенное решение задачи (10.5)-(10.б). В силу того, что система функций определена, речь идет об отыскании N чисел ai, • • •, адг, которые дают минимум функционалу.

Такое решение в рассматриваемой постановке действительно существует. Это основано на том, что первые два слагаемых в подынтегральном выражении представляют собой квадратичную форму искомых параметров ai, • • •, адг. Ввиду линейной независимости выбранной системы функций эта квадратичная форма является положительно определенной. Отсюда следует условие единственности нахождения минимума:

или, в более подробной записи,.

Подводя итог, можно сформулировать следующий алгоритм построения приближенного решения краевой задачи прямым вариационным методом.

• 1. Выбирается система базисных функций с<;*, удовлетворяющих однородному нулевому граничному условию.
• 2. Решение ищется в виде линейной комбинации системы базисных функций Wtf = JZ^aib>i•
• 3. Неизвестные коэффициенты а, определяются из условия доставления минимума функционала /(гсдг) —> min, имеющего вид

Повышение точности решения задачи состоит в расширении системы базисных функций и продолжении минимизирующей последовательности .