Обратные вычисления в нечеткой среде

Часто цели не могут быть сформированы четкими установками, поэтому используются нечеткие понятия, примерами которых могут служить следующие: высокая прибыль, низкая выручка, высокие затраты и т. д. В то же время теория ССП, речь о которой пойдет ниже, требует, чтобы в состав показателей входило не менее 50% тех, что качественно характеризуют управляемые процессы. Поэтому актуальной является разработка инструментальных средств, предназначенных для получения управляющих предписаний для отдела бюджетирования на базе нечетких понятий.

Прямые выводы, выполняемые согласно нечетким правилам в нечеткой среде, выполняются с помощью правил Мамдани или Сугэно, которые сегодня достаточно проработаны 123, 421. В их основе лежат два понятия: фаззификация — переход к нечеткости за счет преобразования четких входных понятий (термов) в диапазон от 0 до 1 и дефаззификация — устранение нечеткости (обратный процесс). Дефаззификатор преобразует нечеткие значения величин в четкие, которые служат управляющими предписаниями исполнительным структурным подразделениям (отделу бюджетирования).

Для совместного использования правил Мамдани или Сугэно с обратными вычислениями требуется создание средств, обеспечивающих внедрение в процесс формирования бюджетов (планов) дополнительных этапов, в функции которых входит выработка специальных корректирующих поправок. Эти поправки, связанные с нечеткими характеристиками объектов, необходимы для улучшения жестких результатов обратных вычислений. Тогда известные правила решения нечетких задач (нечеткие выводы) дополняются следующими этапами.

• 1. Выполняются прямые вычисления, предназначенные для определения фактического состояния предприятия. Осуществляются они на основе нечетких выводов с помощью правил Мамдани или Сугэно.
• 2. Полученные деффазифицированные результаты используются в качестве исходной информации для выполнения обратных вычислений, предназначенных для формирования корректирующих предписаний структурным подразделениям в соответствии с одним из известных методов, рассмотренных в данной главе.
• 3. Выполняется корректировка полученных результатов с учетом характеристик нечетких объектов (значений функций принадлежности нечетких понятий).

Этапы 1 и 2 детально рассмотрены в указанных ранее источниках. Но прежде чем перейти к детальному изложению этапа 3, следует обратить внимание на некоторые обстоятельства.

Важнейшей характеристикой нечеткого понятия служит его функция принадлежности. Снижение уровня принадлежности свидетельствует об ухудшении качества принимаемого решения, а повышение — об его улучшении. Поэтому изменение знака или изменение прироста функции принадлежности, возникающего в результате поиска решений на этапе 2, должно анализироваться и в случае его снижения соответствующим образом на этапе 3 корректироваться. Цель корректировки заключается если не в полном нивелировании снижения данного уровня, то по крайней мере в его сокращении.

Далее нечеткие понятия будут играть двоякую роль: при обсуждении обратных вычислений они будут использоваться в качестве аргументов функций, а при обсуждении нечетких множеств — в качестве нечетких показателей. Это позволяет, обозначив начальное значение нечеткого показателя (аргумента) как х0, а расчетное — как x1, обратиться к рис. 2.20, где графически задана гауссова функция принадлежности нечеткого понятия x. В таблице на рис. 2.20 представлены возможные знаки приростов функции принадлежности, зависящие от полученных на этапе 2 приростов переменной (нечеткого понятия x).

Затемненными полями представлены шесть типовых ситуаций, которые могут возникнуть в результате выполнения этапа 2. Как указано в таблице на рис. 2.20, эти ситуации зависят от знака иско;

Рис. 2.20. Ситуации с функциями принадлежности нечетких понятий.

мого прироста аргумента и знака соответствующего ему прироста функции принадлежности. Перечислим ситуации, указанные цифрами в таблице и затемненными полями на графике рис. 2.20.

Ситуация 1: положительный прирост аргумента (?х > 0) сопровождается положительным приростом функции принадлежности (??(x) > 0). Данная ситуация не требует корректировки аргумента х, так как ухудшения уровня принадлежности данного понятия к нечеткому множеству не произошло.

Ситуация 2: положительный прирост аргумента (?x > 0) сопровождается отрицательным приростом функции принадлежности (??(x) < 0). Данная ситуация требует корректировки прироста аргумента x, так как произошло ухудшение его уровня принадлежности нечеткому множеству.

Ситуация 3: отрицательный прирост аргумента (?x < 0) сопровождается положительным приростом функции принадлежности (??(x) > 0). Данная ситуация не требует корректировки аргумента х, так как ухудшения сто уровня принадлежности к нечеткому множеству не произошло.

Ситуация 4: отрицательный прирост аргумента (?x < 0) сопровождается отрицательным приростом функции принадлежности (??(x) < 0). Данная ситуация требует корректировки аргумента х, так как произошло ухудшение уровня принадлежности данного понятия к нечеткому множеству. Данная ситуация сходна с ситуацией 2 по операциям корректировки функции принадлежности.

Ситуации 5 и 6: приросты аргументов не изменили значений приростов функции принадлежности (??(x) = 0), поэтому корректировка не требуется. Такие ситуации возникают при сигмовидной, трапециевидной, колоколообразной и других функциях.

По причинам, изложенным выше, на этапе 3 должно быть заложено стремление менеджера к обеспечению максимального уровня принадлежности вновь полученных нечетких значений показателей к нечетким множествам. Очевидно, что в такое состояние невозможно привести все значения показателей, но вполне возможно приведение одних к приемлемому состоянию за счет незначительного ухудшения других. Здесь решающую роль играют используемые коэффициенты приоритетности целей и используемые виды функций принадлежности. Например, сгладить негативный эффект, полученный в результате жестких детерминированных обратных вычислений, можно путем увеличения приростов показателей с положительным приростом функций принадлежности и одновременным сокращением тех приростов показателей, которые имеют отрицательный прирост таких функций.

Здесь можно прийти к следующим вариантам выполнения этапа 3:

• а) запретить корректировку того нечеткого показателя, прирост которого ведет к снижению значения функции принадлежности. Этот вариант можно реализовать за счет придания данному показателю статуса константы, что ведет к изменению правила его расчетов и повторного выполнения обратных вычислений;
• б) частично разрешить корректировку того нечеткого показателя, прирост которого ведет к снижению значения функции принадлежности, заранее указав пределы такого изменения;
• в) разрешить корректировку приростов показателей, снижающих степень их принадлежности к нечеткому множеству, за счет иных, повышающих данную степень.

Вариант а) может использоваться лишь в исключительных случаях, так как перевод любого показателя в статус константы существенно влияет на весь ход обратных вычислений (см. подпараграф 2.4.6). Вариант б) может реализовываться на основе жестко заданных допустимых пределов снижения значения функции принадлежности. Каким образом можно реализовать данный вариант, рассмотрено в работе [46]. Вариант в) наиболее перспективен, так как корректирующий прирост нечеткого показателя, имеющего отрицательный прирост функции принадлежности, сокращается за счет других, имеющих положительный прирост данной функции. Далее будет рассматриваться этот вариант.

Напомним, что принцип расчета управляющих предписаний, используемый в детерминированных и стохастических обратных вычислениях, заключается в обеспечении прямой зависимости между приростами аргументов прямой функции и приоритетами целей менеджера. По аналогии с этим корректирующие приросты нечетких понятий также будем рассчитывать в прямой или обратной зависимости от приоритетов целей, добавив зависимость от знаков приростов функций принадлежности. Аналогия требует составления системы уравнений (по одному на каждый корректировочный прирост). Для ориентации введем два правила.

• 1. Для первого уравнения: если ?х > 0, ??(x) > 0 и? > ?, то корректирующий прирост ?хк прямо пропорционален положительному приросту функции принадлежности и обратно пропорционален ее отрицательному приросту (??(x) < 0).
• 2. Для второго уравнения: если ?х > 0, ??(x) > 0 и? > ?, то корректирующий прирост ?хк прямо пропорционален коэффициентам приоритетности, характеризующим цели менеджера, и обратно пропорционален при отрицательном приросте функции принадлежности (??(x) < 0).

Приведенные правила могут служить лишь основой для составления уравнений. Каждая из решаемых задач может иметь свои особенности, требующие своего учета.

Обратимся к рис. 2.21, где иллюстрируются процедуры корректировки приростов показателей. Пусть известна функция у = f(x, z), для которой на этапе 2 найдены приросты аргументов в результате обратных вычислений. Каждый из аргументов характеризуется соответствующей функцией принадлежности: аргумент х — сигмовидной (рис. 2.21, а), аргумент z — треугольной (рис. 2.21, б). Пусть в результате расчетов приростов аргументов оказалось, что положительный прирост ?? нечеткого показателя х сопровождается положительным приростом функции принадлежности ??(x) > 0 (затемненное поле 1).

В то же время прирост второго аргумента может быть как отрицательным (-?z), характеризующимся отрицательным приростом функции принадлежности (??(z) < 0) (затемненное поле 2 рис. 2.21, б), так и положительным (+?z), по также с отрицательным приростом функции принадлежности (затемненное поле 3 на рис. 2.21, б). Это значит, что при отрицательном приросте показа;

Рис. 2.21. Иллюстрация процедур корректировки приростов показателей.

теля z (z < zn) и отрицательном приросте его функции принадлежности корректировочная величина zk должна быть получена за счет увеличения x1 до корректирующей величины хк (заштрихованное иоле на рис. 2.21, а). Тогда отрицательный прирост показателя z сокращается до величины zk (zк < z1) (заштрихованное ноле на рис. 2.21, б), что приведет к увеличению значения треугольной функции принадлежности.

При положительном приросте показателя z (z0 < z1) и отрицательном приросте его функции принадлежности (?µ(z) < 0) корректирующий прирост показателя хк также увеличивает значение данной функции (см. на рис. 2.21, б заштрихованное поле).

Рассматривая двухаргументную задачу поиска корректировочных приростов, мы приходим к расширенной по сравнению с таблицей, приведенной на рис. 2.20, таблице ситуаций, которые могут возникнуть в процессе выполнения этапа 3 (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Корректировочные ситуации для двухаргументной функции

Приросты.
					;	;		;	;
	;
	;
	;

Перечислим данные ситуации.

Ситуации 1, 5, 9, 13: корректировка приростов не требуется, так как ни один из них не снизил значений функций принадлежности.

Ситуации 4, 8, 12, 16: корректировка приростов невозможна, так как оба прироста функций принадлежности снизились (отсутствует возможность повышения одного за счет другого).

Ситуации 17−24: корректировка приростов невозможна, так как значения функций принадлежности находятся в нулевой зоне значений функций принадлежности.

Оставшиеся ситуации 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15 требуют корректировки.

Руководствуясь приведенными выше правилами, для каждой из них по аналогии с детерминированными зависимостями (см. пара граф 2.4) можно составить требуемую систему уравнений. Допустим, возникла ситуация 6, что означает:

Если , то, пользуясь приведенными правилами, корректировочные воздействия можно получить, решив следующую систему уравнений:

где - искомые корректирующие приросты значений нечетких понятий. Остальные обозначения прежние.

Рассмотрим пример.

Пример 12. На рис. 2.22 представлен фрагмент дерева целей, предназначенного для формирования управленческих предписаний. Фрагмент касается повышения рентабельности среднегодовых материальных оборотных средств предприятия (далее просто — материальных оборотных средств).

Рис. 2.22. Фрагмент дерева целей «Увеличить рентабельность» .

На дереве, представленном на рис. 2.22, задано следующее нечеткое правило: «Если прибыль (П) высокая и объемы материальных оборотных средств (О) низкие, то рентабельность (Р) высокая». Знаками «плюс» и «минус» указаны желаемые направления в изменении показателей, а греческими буквами — коэффициенты приоритетности достижения целей, устанавливаемые менеджером Рассмотрим лишь ту часть, которая касается непосредственно рентабельности, рассчитываемой по формуле.

где П+(?) — прибыль, которую надо повысить с приоритетностью ?, О (?) — объемы материальных оборотных средств, которые следует сократить с приоритетностью ?.

Иные формулы в данном примере не нужны. В качестве исходной информации будут использоваться лишь фаззифицированные [23] значения показателей П, О и Р, получаемые с помощью правила Мамдани. Нечеткая величина «высокая прибыль» задается следующей функцией принадлежности:

где П — множество нечетких значений, принимаемых показателем «прибыль». Нечеткая величина «низкие объемы материальных оборотных средств» задается треугольной функцией принадлежности, имеющей вид.

где О — множество значений, принимаемых показателем «материальные оборотные средства» .

Пусть в результате использования правила Мамдани получены дефаззифицированные значения рентабельности, равной ед., прибыли, равной П0 = 0,8 ед., и объемов оборотных средств, равных ед. Здесь нижние индексы мы приводим, чтобы в дальнейшем с их помощью различать исходные (индекс 0) и результирующие (индекс 1) показатели.

На втором этане расчеты выполним, воспользовавшись простейшим методом обратных вычислений, в котором применяются только приросты аргументов. Для этого воспользуемся следующей системой уравнений:

где - искомые приросты аргументов (прибыли и материальных оборотных средств).

В результате ее решения получим.

где обозначения прежние.

В данном случае используются в качестве переменных непосредственно искомые приросты аргументов. Поэтому процесс решения сильно упрощается. Это не всегда возможно, но в случае дробей и таком сочетании знаков приростов он применим.

Пример 13. Продолжая использовать рис. 2.22, будем считать, что менеджеру необходимо увеличить рентабельность на 0,2 ед. за счет прибыли с приоритетностью? = 0,7 и за счет оборотных средств с приоритетностью? = 0,3. Тогда получим следующие приросты прибыли и оборотных средств:

Теперь следует выполнить корректировочный этап 3, предварительно выяснив, в какую ситуацию попали нечеткие величины «высокая прибыль» и «низкие объемы оборотных средств» в результате расчета их новых значений П1 и О1. Для этого вначале согласно приведенным выше правилам 1 и 2 рассчитаем знаки приростов их функций принадлежности по формулам:

Опираясь на заданные выше функции принадлежности, а также исходные и и вновь рассчитанные П1 и О1 значения показателей, получим.

В результате имеем.

Так как? > ?, a знаки приростов указывают на ситуацию 6 (см. табл. 2.4), то на основании приведенных правил 1 и 2 корректировочные приросты можно рассчитать, решив следующую систему уравнений:

Решив ее относительно неизвестных? Пk и ?Оk, получим.

Тогда корректирующие приросты будут следующими: и . Конечный результат всех расчетов следующий: и . Рентабельность при этом изменится и составит

Управляющие предписания выдаются в форме таблицы, фрагмент которой представлен в табл. 2.5.

Результаты расчетов свидетельствует о том, что рентабельность по сравнению с исходной величиной увеличилась лишь до 0,29 вместо 0,4 при незначительном увеличении прибыли до 0,86 ед. и незначительном сокращении объемов оборотных средств до 3,4 ед. Но при этом ка;

Таблица 2.5

Управляющие предписания для структурных подразделений

чество решений улучшилось за счет повышения значения функции принадлежности для прибыли вдвое — до 0,86, а для объемов оборотных средств оно улучшилось незначительно — до 0,45. Как видим, в результате корректировки начальная цель (увеличить рентабельность вдвое) не достигнута. Однако полученный результат заслуживают большего доверия по сравнению с предыдущим (0,42), так как качество решений выше. Если такой результат нс устраивает менеджера (нужная рентабельность не достигнута), то его можно изменить, манипулируя коэффициентами приоритетности в достижении целей.