Анализ линейных электрических цепей с несинусоидальными токами

Возможность разложения периодических несинусоидальных величин в ряд Фурье позволяет свести расчет электрических цепей с линейными элементами при воздействии несинусоидальных ЭДС к расчету цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. По принципу суперпозиции мгновенные значения искомых токов и напряжений будут равны сумме мгновенных значений токов и напряжений, которые установились бы в этой цепи, если бы в ней действовали независимо друг от друга постоянная и гармонические составляющие ЭДС.

Пусть на вход цепи рис. 5.5.1 включен источник несинусоидальной ЭДС.

Требуется найти ток и напряжение на конденсаторе.

Рис. 5.5.1. Схема замещения цепи с источником несинусоидалыюй ЭДС.

Заменим источник е (?) тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно: источником постоянной ЭДС Е₍₀₎ и источниками синусоидальных ЭДС е₍₁₎ и е₍₂₎ (рис. 5.5.2).

Рис. 5.5.2. Схема замещения цепи рис. 5.5.1 с эквивалентной группой источников.

Основываясь на принципе суперпозиции, расчет цепи с несинусоидальной ЭДС можно свести к расчету частичных схем с постоянной и синусоидальными ЭДС (рис. 5.5.3).

Рис. 553. Частичные схемы замещения цепи рис. 5.5.1 для постоянной (а), первой (б) и второй (в) гармоник ЭДС В схеме рис. 5.5.3, а напряжение и ток от постоянной составляющей ЭДС ?₍₀₎ определяют так же, как и при расчете цепей постоянного тока. Токи и напряжения в схемах рис. 5.5.3, б, в от действия каждой гармоники ЭДС определяют, как при расчете цепей синусоидального тока.

Постоянная составляющая тока /₍₀₎ = 0 из-за наличия в цени конденсатора, постоянная составляющая напряжения на конденсаторе [/₍₀₎ = Е_(0у

Расчет гармонических составляющих токов и напряжений можно производить с помощью комплексных чисел. При этом следует иметь в виду, что сопротивления индуктивных и емкостных элементов зависят от порядкового номера гармоники:

Комплексные сопротивления рассматриваемой схемы запишутся в следующем виде. Для первой гармоники.

Для второй гармоники.

Комплексные амплитуды первой и второй гармоник тока определяются выражениями.

Тогда искомый мгновенный ток.

Комплексные амплитуды первой и второй гармоник напряжения на конденсаторе равны.

Искомое мгновенное напряжение на конденсаторе

Из выражения (5.5.2) следует, что форма кривой тока отличается от формы кривой ЭДС (5.5.1), поскольку в нем соотношение между амплитудами не такое, как для ЭДС. Кроме того, начальные фазы гармоник тока отличаются от начальных фаз гармоник ЭДС. Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (и_к = Ш), поэтому форма кривой напряжения и_к аналогична форме кривой тока на этом элементе. Напряжения на индуктивном и емкостном элементах отличаются по форме от несинусоидального тока этих элементов. Подробнее эго утверждение проанализировано в параграфе 5.6.

Пример 5.5.1. Анализ линейной электрической цепи несинусоидального тока Катушка с активным сопротивлением Я = 10 Ом и индуктивностью I = 33 мГн подключена к источнику питания, ЭДС которого изменяется в соответствии с выражением е = (10 + 20зтсо? + 12 $шЗсо?) В. Запишите выражение для мгновенного тока, если частота основной гармоники/= 50 Гц.

Решение

На рис. 5.5.4, а изображена схема замещения рассматриваемой цепи, в которой осуществлена эквивалентная замена источника несинусоидальной ЭДС тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно. Расчет схемы рис. 5.5.4, а по принципу суперпозиции сводится к определению токов трех частичных схем, представленных на рис. 5.5.4, б—г. В частичной схеме рис. 5.5.4,6, являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (со = 0), сопротивление определяется только резистивным элементом Я_У сопротивление индуктивного элемента 1 = 0.

Рис. 5.5.4. К примеру 5.5.1.

Комплексные сопротивления в частичных схемах рис. 5.5.4, в, г:

Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник тока в частичных схемах Мгновенный ток

Упражнение 5.5.1. Анализ линейной электрической цени несииусоидального тока Напряжение на входе схемы, содержащей последовательно включенные резистивный и емкостный элементы, задано выражением

Запишите выражение для мгновенного тока. Определите действующие значения напряжения и тока, если сопротивление резистивного элемента Я = 10 Ом, емкость С = 96,5 мкФ, а частота основной гармоники /= 50 Гц.

Указание: при расчете частичной схемы замещения цепи, но постоянной составляющей необходимо учесть, что сопротивление емкостного элемента при со = 0 стремится к бесконечности, поэтому в мгновенном токе отсутствует постоянная составляющая.

Упражнение 5.5.2*. Определение показаний приборов Определите показания приборов:

• а) магнитоэлектрической системы;
• б) электромагнитной системы.

В схемах рис. 5.5.5 К = 3 Ом, а реактивные сопротивления по первой гармонике = 3 Ом, Х₁₂ = 5 Ом, Х_С1 = 9 Ом, Х_с^ = 45 Ом, а напряжение источника и = (9 + 12зтЗсо?) В.

Рис. 5.5.5. К упражнению 5.5.2.