Тест Льюинга—Бокса. 
Эконометрика

Статистика Льюинга—Бокса имеет вид:

Можно доказать, что если верна гипотеза Но о равенстве нулю всех коэффициентов корреляции р (е, е,__т), где т = 1,…, р, то статистика Q_p имеет распределение х²° Р степенями свободы.

? Пример 7.6. Проверить гипотезу Щ об отсутствии автокорреляции в модели зависимости курса ценной бумаги Л от времени t (§ 7.6).

Решение. Значение ^/-статистики Дарбина—Уотсона, примерно равное единице, дает оценку коэффициента корреляции между е₍ и е^, т. е. г (1)=0,5.

Отсюда по формуле (7.33).

Так как фактическое значение статистики больше критического Xo. o5:i =3,84, то гипотеза Q = 0 отвергается.

Заметим, что гипотеза Q= 0 и гипотеза р=0 о равенстве нулю коэффициента р в уравнении (7.31) представляют собой по сути одно и то же утверждение об отсутствии авторегрессии первого порядка. Результат тестирования этих гипотез должен совпадать с выводом, к которому приводит значение статистики Дарбина— Уотсона.

Вычислить «вручную» значение (^-статистики при р> 1, как правило, достаточно трудно (напомним еще раз, что значение статистики Дарбина—Уотсона дает информацию лишь о значении автокорреляционной функции первого порядка), однако, в большинстве компьютерных пакетов тест Льюинга— Бокса выполняется специальной командой. В «Econometric Views» выдаются значения выборочной автокорреляционной функции г (х), частной автокорреляционной функции г_част(т), значения 0-статистики Льюинга—Бокса и вероятности Р (Q > Q_p) для всех порядков т от 1 до некоторого р. Например, так выглядит соответствующий результат для рассматриваемого примера зависимости курса ценной бумаги А от номера наблюдения (табл. 7.2).

Таблица 7.2.

Как видно, все вероятности, приведенные в столбце 5, ниже уровня значимости, так что гипотезы Q_p= 0 об отсутствии автокорреляции отвергаются. ?

Сделаем одно существенное замечание. Критические значения г статистики растут с увеличением р. Величины Q_p также растут, но, возможно, медленнее. Таким образом, формальное применение теста Льюинга—Бокса может привести к парадоксальным, на первый взгляд, выводам: например, отвергается гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка, но не отвергается гипотеза об отсутствии автокорреляции всех порядков до 36-го включительно! На самом деле противоречия здесь нет, — ведь тот факт, что гипотеза не отвергается, не означает, что она на самом деле верна, — можно лишь утверждать, что если она верна, то наблюдаемый результат возможен с вероятностью, большей, чем уровень значимости. Впрочем, подобного рода ситуации на практике встречаются достаточно редко.