Законы распределения дискретных СВ Биномиальное распределение

Условия возникновения биномиального распределения евязаны е опытами, в которых некоторое событие А появляется с постоянной вероятность р и не появляется с вероятностью q = 1 —р. Проведено п опытов, спрашивается: «Какова вероятность появления в них т раз события А?». СВ X здесь число т = 0, 1,2, …,". Вероят ности т имеют биномиальное распределение:

В формулах (7.31) С" - число сочетаний из п по т. Числовые характеристики распределения:

При больших значениях п порядка нескольких десятков и пр>() вычисление вероятностей по (7.31) затруднено. В таких случаях для вычислений используют асимптотические формулы на основе локальной теоремы Муавра — Лапласа и распределения Пуассона. Вероятности Р_тп здесь вычисляются по формулам.

В формулах (7.33) обозначим:

Функция fit) — четная, fi-t) = fit) табулирована [58].

Биномиальное распределение называют также формулой Бернулли, частной теоремой о повторении опытов. Общая теорема о повторении опытов рассматривается для случая, когда вероятности появления р, и не появления с/, события А в каждом /-м опыте различны. Вычисления вероятностей здесь производятся на основе производящей функции.

Разложение функции (7.34) по степеням параметра z в качестве коэффициентов дает вероятности Р_{т п}.

Общая теорема о повторении опытов имеет вид.

Частная теорема, выражающая биномиальное распределение, запишется в форме.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса для биномиальною распределения:

Как видно из (7.37), вид кривых плотности распределения зависит от соотношения вероятностей /? и q. Заметим, что в случае больших п и малых р для биномиального распределения предельным является распределение Пуассона.