Статистическое оценивание. 
Надежность технических систем и техногенный риск

Для анализа выборочных значений используются две главных статистических оценки: точечная и интервальная оценки.

Пример 12.1

Рассмотрим следующие значения прочности на разрыв для четырех фортепианных струн: 28,7; 27,9; 29,2; 26, 5 psi (фунт/кв. дюйм)^[1].

Если допустить, что эти образцы являются представительной выборкой популяции фортепьянных струн, то можно получить следующее средневыборочное значение р, т. е. точечную оценку для популяции:

А что же с риском? — А пока никак. Имеем только некую цифру (точку), что с нее взять? Двинемся дальше к интервальной оценке.

Пусть известно, что допустимое стандартное отклонение (а = 2 psi) от р, а допустимый риск, а = ±2,5%. Что это означает на физическом уровне? А вот что. При, а = ±2,5% доверительный 95%-иый интервал, в пределах которого лежат допустимые значения предела прочности струи, вычисляется так:

Но что это за магическое число 1,96? Да его все знают из курса теории вероятностей — это 95% значений прочности струн из выборки. Попал в сегмент — повезло, за брак не «выдрали». Проблема в границах, хвостах распределения, которое мы по умолчанию приняли нормальным.

Риск заключается в хвостах этого распределения (именно об этом предупреждает Z (a) = 1,96. Но где взять это а? Все просто — берем таблицу процентных точек нормального распределения (см., например, [32, с. 492], правда, там обозначено Z (а) =и_а). В клеточках таблицы находим эту самую а, и видим, что Z (а) = 1,96. Приведем откорректированный вариант данной таблицы, где в клетки прямо вписаны риски (табл. 12.2, жирным шрифтом выделен результат решения примера 12.1).

Таблица 12.2

Откорректированная таблица процентных точек нормального распределения.

Формулировка задачи оценивания может быть также следующей. Пусть случайная выборка объема п взята из большой совокупности изделий и имеет стандартное отклонение в 1 мкм. Размер выборки уже определен так, чтобы был обеспечен 5%-ный риск превышения +0,1 мкм границы допуска над средневыборочным значением ц. Требуется продумать и аргументировать: какое из значений объема п выборки лучше всего подходит (г.е. то число изделий, которое было выбрано (число изделий выборки), — это число еще предстоит найти. А потом только решить, какое из следующих чисел: 384, 40, 200 или 100 — лучше подходит).

Итак, с нормальным распределением в случае, когда цио известны, мы разобрались. А что делать, если о неизвестна? Ответ таков: использовать критерий Стыодента¹.

• [1] Откровение для не слишком радивого студента: 1 г/см2 = 1 psi • 70,31, но «пси» как-топохоже на звук перетянутой оборванной струны, которая бьет не в щеку, а в деку гитары, издавая «пси».