Напряжения в вязкой ньютоновской жидкости

Свойство вязкости

Вязкостью, или внутренним трением, называется свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой при разных видах деформации под действием внешних сил. Свойство вязкости может быть присуще и твердым телам, для которых оно проявляется как сопротивление развитию остаточной деформации.

Термин «вязкость» имеет двойственное значение. Кроме определенного выше свойства, он используется и для наименования физической характеристики среды, определяющей числовую количественную характеристику свойства вязкости в соответствующем реологическом законе. Такую характеристику также называют вязкостью, иногда используются наименования коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения.

Современное понимание вязкости и ее роли в математических моделях среды было заложено в работах Ньютона и Стокса в результате реальных и мысленных опытов.

Основной моделью, на которой первоначально строилось определение вязкости, является модель течения несжимаемой жидкости в слое между двумя пластинками, одна из которых покоится, а вторая движется с постоянной скоростью (рис. 4.1). Чтобы реализовать такое течение, к движущейся пластинке необходимо приложить силу Р, которая будет преодолевать сопротивление среды.

Рис. 4.1. Сдвиговое течение между параллельными пластинами.

Линии тока такого течения прямолинейны и параллельны стенкам, а профиль скорости линеен. Это течение называют течением с однородным сдвигом, оно относится к классу слоистых течений, в которых характеристики постоянны в каждом слое и изменяются в направлении, перпендикулярном к слоям. Если мы в гаком течении в некоторый момент времени пометим частицы, составляющие прямоугольную рамочку, как это показано на рисунке, то через некоторое время этот прямоугольник преобразуется в параллелограмм с той же самой площадью. Объяснение на этой задаче свойств вязкого течения и закономерностей переноса импульса составило основу понимания свойства вязкости и возникающих в этом течении внутренних напряжений. В этом опыте пластинка, имеющая площадь поверхности S, перемещается со скоростью vq иод действием приложенной к ней силы F . В зазоре величиной h устанавливается линейный профиль скорости v_x = voy/h, для которого скорость относительного сдвига будет постоянна по высоте и равна: dv_x/dy = vo/h .

Еще Ныотон определил вязкость как коэффициент пропорциональности между напряжением сдвига т = P/S и скоростью относительного сдвига:

Зависимость (4.22) называют формулой Ньютона. Приведенная схема может быть использована для определения коэффициента вязкости жидкостей или газов на основе измерения силы, приложенной к пластинке, и скорости ее буксировки. Однако более удобными и точными являются другие схемы измерения вязкости, в частности в приборе Куэтта, в котором реализуется течение между двумя коаксиальными цилиндрами. Измерение вязкости составляет предмет вискозиметрии. В технике, наряду с используемым для ньютоновской вязкости символом //, используется символ 1].

В СИ единицей вязкости является паскаль-секунда (1 Па — с), равная динамической вязкости среды, в которой при ее ламинарном течении между' параллельными пластинами на каждый квадратный метр движущегося слоя действует сила трения 1 Н при условии, что разность скоростей слоев жидкости, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга, равна 1 м/с. Из соображений удобства в технике широко применяется и дольная единица вязкости — милипаскальсекунда, определяемая как 1 мПа • с = 1 • 10^-3Па • с.

Внесистемной единицей вязкости, перешедшей из системы СГС, является пуаз, обозначаемой символом П. Связь ее с основными единицами дается соотношением 1 П = 0,1 Па-с. Используется также и дольная единица — сантипуаз (1 сП 0,01 П). В частности, вязкость воды р₂о If=20° с ⁼ 0>01 =1=1- Ю^_3Па • с.

В задачах переноса импульса в несжимаемой среде удобно вместо ньютоновской ввести кинематическую вязкость и = р/р с размерностью м² • с^-1 — метр квадратный в секунд}'. В технике для кинематической вязкости часто пользуются внесистемной единицей — стоксом: 1 От = 1 • 10^-4 м² • с^-1.

Для газов механизм переноса количества движения, тепла и вещества одинаков и связан с тепловым движением молекул. В силу этого все три кинетических коэффициента, определяющих эти явления переноса, имеют одинаковую размерность (м • с^-1) и являются величинами одного порядка.

Кинетическая теория объясняет свойство вязкости передачей импульса от молекул более быстро движущегося слоя к молекулам более медленного слоя. Перемещение молекул между слоями движущейся среды обусловлено их тепловым движением. Скорость теплового движения в идеальном газе пропорциональна корню из термодинамической температуры. Поэтому в газах вязкость возрастает с увеличением температуры, однако конкретный вид этой зависимости должен быть откорректирован за счет отклонений от идеальности, учета поправки Ван-дер-Ваальса на собственный объем и силы взаимодействия. Для описания связи вязкости с температурой применяют приближенные зависимости, в числе которых наиболее широко известны формула Сезерлэнда /л = A _t, Чепмена /I =.

= В i+ct—c't^ «^атакже степенная зависимость ц = цо, п ~.

0,5 Ч- 1. Входящие в них константы получены на основе обработки экспериментальных данных и приводятся в справочной литературе.

Такое понимание вязкости отвечает так называемому феноменологическому подходу, основанному на привлечении в математические модели закономерностей, установленных опытным путем. В отличие от такого подхода, можно построить теорию переноса, основываясь на молекулярно-кинетической теории вещества.

Совершенно иной характер имеет зависимость вязкости от температуры для жидких сред: с повышением температуры вязкость резко надает, так как увеличивается подвижность частиц среды и молекулы получают возможность перемещаться в новое положение из своего временного положения равновесия. Для таких сред температурная зависимость вязкости может быть представлена в виде экспоненциального закона: /г = Л (Т) ехр (|5р), в котором W представляет собой некоторую энергию активации или разрыхления жидкости, характеризующую энергетические затраты на образование молекулярной полости, в которую будет смещаться молекула, обеспечивая таким образом подвижность среды.

В технике часто пользуются и иными представлениями вязкости. Часто применяется удельная вязкость отношение вязкости среды при температуре 0 °C к вязкости воды при этой же температуре. Другой характеристикой является относительная вязкость — отношение вязкости среды при некоторой температуре к вязкости воды, определенной при этой же температуре. Еще одна характеристика вязкости градусы Энгл ера (°Е) и Барбье (°В) отношение времени истечения жидкости в соответствующем приборе при данной температуре ко времени истечения некоторой стандартной жидкости при установленной температуре. Для численного определения вязкости в технике используются также секунды Сейболта («S) и Редвуда («R) — время истечения определенного объема жидкости. Эти технические характеристики удобны для оценки свойств текучести жидких сред применительно к конкретным устройствам, однако неудобны при построении математических моделей вязкой среды.