Каноническая форма наблюдаемости. 
Обнаруживаемость

Пусть ранг матрицы управляемости управляемой системы (1.19) равен I (/ ^ п). Если ранг / не равен нулю, но меньше п (0 < < / < п), то будем говорить, что управляемая система (1.19) частично наблюдаема. Подпространство, порождаемое / независимыми строками транспонированной матрицы наблюдаемости, обозначим Rh и будем называть подпространством 7шблюдаемости. Если управляемая система частично наблюдаема, то ее подпространство наблюдаемости будет собственным подпространством пространства Rⁿ.

Сформируем матрицу Т преобразования х = Тх в виде.

где строки матрицы Т образуют базис /-мерного подпространства наблюдаемости, а строки матрицы Тг подбираются так, чтобы матрица Т была неособая (detT ф 0). В частности, в качестве строк матрицы Т можно взять / независимых строк транспонированной матрицы наблюдаемости. При таком преобразовании уравнения управляемой системы примут вид так называемой канонической формы наблюдаемости [29].

где х^ — /-вектор, — (п —/)-вектор, Ац, Л21, Лг2> #ь #2″ С — матрицы соответствующей размерности, причем пара (Ли, С) вполне наблюдаема. Из структуры системы уравнений (1.22) видно, что вектор Х2 никакого влияния на выходной вектор ни непосредственно, ни через фазовый вектор х^ не оказывает. Поэтому его координаты не могут быть определены по наблюдениям выходного вектора у (<). Эти координаты называются ненаблюдаемгями или невос— станавливаемыми. Проекция фазового вектора на подпространство наблюдения Rh, определяемая равенством = 0 и имеющая вид ~ (&¹⁾

х = I ^ 1, вполне наблюдаема. Другими словами, если система движется в подпространстве Rh, то она вполне наблюдаема. Отсюда название подпространства Rh как подпространства наблюдаемости.

Полностью невосстанавливаемый вектор имеет вид х = ^(2) V.

По канонической форме наблюдаемости можно судить о наблюдаемости управляемой системы: управляемая система вполне наблюдаема, если в канонической форме наблюдаемости отсутствует вектор х^²).

Обпаруэ*сиваем, остъ. Если управляемая система частично наблюдаема, то фазовый вектор можно представить в виде суммы: х (?) = = х#($) + x_l (?), где хл — вектор из подпространства наблюдения, х_|_ — полностью ненаблюдаемый вектор. Вектор x (t) восстанавливается по наблюдениям у (т) и и (т) на интервале to ^ т ^ t с точностью до невосстанавливаемого вектора. Вектор в асимптотике становится восстанавливаемым, если xj_ —" 0 при t —> оо.

Частично наблюдаемая управляемая система (1.19) называется обнаруживаемой, если невосстанавливаемые координаты при нулевых остальных координатах и нулевом управлении стремятся к нулю при t -> оо. Непосредственно из определения следует, что вполне наблюдаемая система является обнаруживаемой. Также является обнаруживаемой любая асимптотически устойчивая система. Из канонической формы наблюдаемости вытекает следующий критерий обнаруживав мост и:

частично наблюдаемая управляемая система обнаруживаема в том и только том случае, если в канонической форме наблюдаемости матрица А22 является асимптотически устойчивой.

Пример 1.6. Исследовать наблюдаемость и обнаруживаемость управляемой системы.

в зависимости от параметра с.

Решение. В данном случае имеем.

Система вполне наблюдаема при с ф 0. При с = 0 система частично наблюдаема, и она не обнаруживаема. Действительно, при с = О уравнения принимают вид канонической формы наблюдаемости, если принять я*¹) = Я2, х^ = х. При этом Л22 = 0 и собственное значение (корень уравнения Л — А22 — 0) равно нулю. Поэтому матрица А22 не является асимптотически устойчивой.

Принцип двойственности управляемости и наблюдаемости.

Рассмотрим наряду с системой.

так называемую двойственную ей систему.

Как легко проверить, матрица управляемости системы (1.23а) совпадает с матрицей наблюдаемости системы (1.236), а матрица наблюдаемости системы (1.236) совпадает с матрицей управляемости системы (1.23а). Поэтому справедлив следующий принцип двойственности (дуальности):

система (1.23а) вполне управляема тогда и только тогда, когда двойственная ей система (1.236) вполне наблюдаема, и система (1.23а) вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда двойственная ей система (1.236) вполне управляема.