Дискретные сигналы и их спектры

С аналитической точки зрения процедуру получения дискретизированного (термин «дискретизированный» в данном контексте подчеркивает, что последовательность отсчетов получена в результате дискретизации аналогового сигнала, поэтому далее проще — дискретного) сигнала u_T(t) удобно рассматривать как умножение непрерывного сигнала u (t) на вспомогательную последовательность y (t) дискретизирующих прямоугольных импульсов единичной амплитуды.

На практике такую операцию осуществляют с помощью ключа К и генератора прямоугольных импульсов Г (рис. 6.9, а). Длительность дискретизирующих импульсов т_и должна быть небольшой, много меньше интервала дискретизации At. Принцип формирования дискретного сигнала показан на рис. 6.9, б —г, где изображены графики функций u{t), y (t) и u_T(t). При этом реальный дискретный сигнал u_T(t) имеет вид имнульсно-модулированного колебания (см. рис. 6.9, г).

Рис. 6.9. Дискретизация сигнала:

а — дискретизатор; б — непрерывный сигнал; в — последовательность дискретизирующих импульсов; г — дискретный сигнал Чтобы оценить требования к длительности дискретизирующих импульсов, определим спектр дискретного сигнала u_T{t). Пусть непрерывный сигнал u (t) имеет спектральную плотность S (со) (рис. 6.10, а). Представим последовательность дискретизирующих импульсов y (t) рядом Фурье (2.23), в котором частота coj = 2n/At:

Рис. 6.10. Спектры сигналов:

а — непрерывного; б — дискретного Здесь коэффициенты.

Подставив выражение (6.10) в формулу (6.9), получим.

Рассмотрим первое и второе слагаемые в формуле (6.12). Первому слагаемому соответствует спектральная плотность 5(оо) исходного сигнала u (t). К произведению m (?)coswoo,? второго слагаемого применим прямое преобразование Фурье (2.29). Используя формулу Эйлера и проведя математические выкладки, запишем.

В этом выражении первый интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала u (t.) на частотах со — «со, а второй — ту же спектральную плотность, но на частотах со + «со,. Поэтому

Значит, дискретному сигналу (6.12) соответствует спектральная плотность.

Учитывая, что при п = 0 коэффициент /_я = 1, запишем.

График спектра дискретного сигнала, сформированного из непрерывного, показан на рис. 6.10, б.

Полученные результаты позволяют сделать фундаментальные выводы:

• • спектральная плотность S,(со) дискретного сигнала u_t(t) представляет собой бесконечную последовательность спектральных плотностей S,(со) исходного сигнала u (t), сдвинутых друг относительно друга на частоту дискретизации со,;
• • огибающая спектральной плотности 5фсо) дискретного сигнала 11,(1:) с точностью до коэффициента l/Af повторяет огибающую спектральной плотности дискретизирующего прямоугольного импульса.

Чтобы восстановить непрерывный сигнал u (t) из дискретного u,(t), достаточно выделить центральную часть спектра S ,((о). На практике это осуществляют идеальным ФНЧ, имеющим коэффициент передачи К (со) = К₀; -co_D < со < со" (штриховая линия прямоугольной формы на рис. 6.10, б).

Вместе с тем известно, что идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для пояснения принципа восстановления непрерывного сигнала на основе теоремы отсчетов. Реальный ФНЧ имеет АЧХ, которая либо охватывает несколько лепестков спектра (штрихиунктирная линия на рис. 6.10, б), либо имеет конечную длительность крутизны ската характеристики и не полностью охватывает центральный лепесток. Этот недостаток накладывает определенные ограничения на применение теоремы Котельникова, требуя уменьшения интервала дискретизации. На практике интервал дискретизации, определяемый формулой (6.2), уменьшают в 2—5 раз. Тогда отдельные составляющие спектра дискретного сигнала не перекрываются (см. рис. 6.10, б) и могут быть разделены фильтрами.

С уменьшением длительности дискретизирующего импульса т_н амплитуды спектральных составляющих с ростом частоты убывают медленнее. При т_н —* 0 спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечную последовательность «копий» спектров исходного сигнала с равной амплитудой. Если одновременно с уменьшением длительности увеличивать амплитуду импульса т_птак, чтобы его площадь оставалась неизменной и равной единице, то дискретизирующим сигналом может быть бесконечная последовательность дельта-функций:

В этом случае формула (6.9) запишется следующим образом:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Прямоугольный импульс с единичной амплитудой и длительностью т_и дискретизирован 10 отсчетами. Определим спектр дискретного сигнала.

Решение

Для нахождения спектра воспользуемся формулой (6.14). В ней частота со, = = 2к/At = 20/т_и, интервал дискретизации At = т,/10, а спектральная плотность дискретизируемого импульса определяется выражением (2.33). Тогда Итак, согласно формуле (6.13) дискретный сигнал u^t) представляет собой последовательность дельта-функций, следующих с интервалом At. Эти функции имеют амплитудные коэффициенты, равные выборкам (амплитудам) непрерывного сигнала u (t) в точках дискретизации t = kAt. Аналитическое выражение (6.13) для спектральной плотности дискретного сигнала в этом случае примет вид Пример 6.6.

Представление дискретных сигналов Uj (t) в форме (6.14) упрощает их анализ. В частности, спектральную плотность 5_у{со) можно вычислить непосредственно по совокупности временных отсчетов {u (kAt)} = и_к. Применив прямое преобразование Фурье (2.29) к ряду (6.14) для отсчетов с положительными номерами k = 0, 1,…, получим с учетом фильтрующего свойства дельта-функции.

При этом существенно сокращается время обработки реальных сигналов.