Энергия деформации упругого тела

Рассмотрим объем в форме параллелепипеда с ребрами а, 6, с, параллельными главным осям тензора деформаций. При действии напряжения ст на площадку dx2 dx3 элемент объема деформируется и его удлинение изменяется от нуля до ?. При изменении удлинения на 6е сила произведет работу.

Учитывая, что аналогичный вклад в работу деформации производят напряжения на других гранях, получим.

или, относя элементарную работу к единице объема,.

Подставим сюда выражения главных напряжений через относительные деформации из закона Гука: сг^ = 2pek + A (?i + ?2 + ?3)Подставляя эти соотношения и производя интегрирование по беь на промежутке от 0 до окончательно получим.

Данное выражение может быть выражено через инварианты тензора деформаций:

которое справедливо в любой системе координат (уже не обязательно главной). Здесь использовано соотношение е +?2*63 = — 27−2,.

установленное ранее.

Энергия упругой деформации весьма просто выражается через комбинацию главных значений тензоров напряжений и деформации:

Выражение, аналогичное (4.19), в произвольной (не главной) системе координат представляется через так называемое бискалярное произведение тензоров:

Эта операция является одной из так называемых операций свертки и обобщает на тензоры операцию скалярного произведения векторов.

Энергия упругой деформации в данной точке тела является скалярной характеристикой напряженно-деформированного состояния, определяемого тензорами напряжений и деформаций.