Ожидаемая доходность и риск портфеля с учетом безрисковой компоненты

Использование возможности безрискового ссуживания сказывается на формировании эффективных портфелей. Рассмотрим границу эффективных портфелей, построенную с учетом допущений САРМ (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Формирование эффективных портфелей с учетом безрискового ссуживания и займа.

Поскольку, исходя из допущений САРМ, все инвесторы имеют гомогенные ожидания и действуют одинаково, то каждый из них выберет одни и те же акции и построит одну и ту же границу эффективных портфелей. На этой границе произвольно выбраны три эффективных портфеля А, В, Т. Одновременно на графике указана безрисковая ценная бумага f: ее ожидаемая доходность равна rf^[1], а стандартное отклонение? f= 0. Значит, безрисковая ценная бумага отражается на графике точкой rf на вертикальной оси.

Пусть инвесторы формируют так называемые композиционные портфели следующим образом: часть начальной суммы денег Sнач направляется на приобретение акций эффективного портфеля (А, В или Т), а остальные деньги расходуются на покупку безрисковых ценных бумаг. В дальнейшем будем называть такие портфели композиционными ссудными портфелями.

Рассмотрим произвольный композиционный ссудный портфель, содержащий как рисковые ценные бумаги, так и безрисковое средство, например композиционный портфель , состоящий из эффективного портфеля А (с ожидаемой доходностью и риском ) и безрисковой ценной бумаги f. Предположим, что инвестор потратил на приобретение безрискового средства долю своих первоначальных инвестиционных затрат; тогда на покупку ценных бумаг, входящих в портфель А, он может выделить долю () денег. Как установлено ранее, ожидаемая доходность портфеля, состоящего из двух финансовых средств, вычисляется по формуле.

В таком случае ожидаемая доходность композиционного портфеля С1 равна.

(3.30).

Оценим теперь риск (дисперсию доходности) композиционного портфеля . Как известно, дисперсию доходности такого портфеля вычисляют, но формуле.

но поскольку f — безрисковое средство, то , поэтому:

и ли (3.31).

Это позволяет в случае создания ссудного композиционного портфеля связать ожидаемую доходность и стандартное отклонение линейной зависимостью. Действительно, из формулы (3.31) имеем.

Подставив это выражение в формулу (3.30), получим.

(3.32).

Поскольку величины , и не меняются при формировании композиционного портфеля (и иных композиционных портфелей), то приходим к очень важному выводу: если инвестор формирует композиционные портфели, состоящие из эффективного портфеля А с ожидаемой доходностью и стандартным отклонением? A и безрискового финансового средства f с доходностью , меняя вес безрискового средства, то в силу зависимости (3.32) он будет выбирать такие эффективные ссудные портфели, для которых соотношение ожидаемой доходности и стандартного отклонения соответствуют лучу . Иными словами, граница эффективных портфелей при этом преобразуется в отрезок прямой, соединяющий точки и А.

Аналогично, если инвестор будет формировать портфель, содержащий рисковый портфель В и безрисковое средство f, то граница эффективных портфелей представит собой отрезок

Итак, в общем случае, когда инвестор тратит часть начальной инвестиционной суммы на приобретение эффективного портфеля i, содержащего рисковые ценные бумаги, и часть на покупку безрискового финансового средства, то граница эффективных портфелей превращается в отрезок прямой линии, соединяющий точку на оси ординат и точку i на границе эффективных портфелей.

• [1] Поскольку ожидаемая доходность rf безрисковой ценной бумаги остается неизменной, то применение оператора £() для обозначения «ожидаемой» величины rf необязательно.