Возмущающие колебания при наличии сопротивления среды

Предположим, что возмущающая сила Р = P₀sin (co? + Р), где р — фазовый угол (угол сдвига фаз). Для понимания физического смысла угла р возьмем выражения.

Из тригонометрии известно, что т. е.

где в данном случае . Это означает, что скорость Vсмещена по фазе (по отношению к перемещению х) на 90° (л/2). Наглядно это иллюстрируется графиком (рис. 6.4). На графике видно смещение максимальных и минимальных значений перемещения х и скорости V на угол л/2.

Теперь примем, что сопротивление системы (например, среда, в которой колеблется пружина) Р_с = XV = Хх, тогда дифференциальное уравнение колебаний, с учетом выражения (6.13), примет вид

Рис. 6.4. Смещение фаз.

Здесь в уравнение (6.13) добавлена сила Р_с. Решение этого уравнения также ищем в видех = Bcosco?. Подставив в (6.15).

получим.

При откуда.

При

Приравнивая правые части для В, имеем Разделив обе части равенства на cosp, получаем:

Из тригонометрии известно, что , или

тогда.

и окончательно.

Анализ выражения (6.16) показывает, что при резонансе (со = со₀) амплитуда , т. е. может иметь хотя и большое, но конечное значение, зависящее от коэффициента сопротивления среды X. В практических случаях стараются избежать резонанса, если важна прочность и долговечность деталей, либо конструкций (например, частота вращения валов не должна быть равна частоте их собственных колебаний). В ряде случаев, наоборот, создают резонансные колебания для ускорения разрушения или деформаций материалов (например, при виброуплотнении грунтов).

Таким образом, если Р = f (pc), то движение получится колебательное с периодичностью Т при частоте со₀.

В общем случае Р = х^п, где пФ 1. Тогда получаем нелинейные дифференциальные уравнения и соответствующие более сложные колебательные движения.

Уравнения (6.4)—(6.16) дают картину незатухающих колебаний, что возможно только при отсутствии сопротивлений и сохранении энергии, затраченной на первоначальное сжатие. Фактически, часть энергии тратится на внутреннее трение в витках пружины, сопротивление среды и другие сопротивления, которые можно искусственно ввести в систему.

Дифференциальное уравнение (6.4) называется уравнением собственных колебаний, так как параметры колебаний (со, Т) зависят только от свойств тела (жесткости К и величины колеблющейся массы т).