Уравнения Эйлера Лагранжа

Рассмотрим задачу Лагранжа.

Эта система представляет собой скалярную форму записи векторного уравнения (9.20).

Здесь z — вектор-столбец размера s; Ф* (г = 0,1,…, р), ipk (& = = 1,2,…,/) — дифференцируемые по всем своим аргументам функции.

Эта задача отличается от простейшей вариационной задачи тем, что на аргументы функционала помимо краевых условий наложены дополнительные ограничения (связи (9.22а) и (9.226)). Для получения необходимого условия воспользуемся приемом Лагранжа, который преобразует задачу на условный экстремум в задачу на безусловный экстремум.

Составим функцию

где ф{ (i = 1,2,…, р) — функции времени, А* (к = 1,2,…, I) и г/>₀ — константы. Функция L (2, х, ф, Ь) называется функцией Лагранжа, функции ^ (i = 1,2,…, р) и константы A* (fc = 1,2,…,I) и — (неопределенными) множителями Лагранжа.

Прием Лагранжа состоит в том, что он преобразует задачу (9.22) в простейшую задачу вариационного исчисления.

Здесь !) = (фо • • • Фр)^Г, А = (Ai А₂ … А₍)^т.

Последняя задача имеет смысл, если множители Лагранжа не равны одновременно нулю. Под равенством нулю множителей ф{ (i = = 1,2,… , р), являющихся функциями, понимается их тождественное обращение в нуль. Кроме того, если -фо = О, то функционал J и соответственно решение не зависят от исходного функционала. Это возможно, если задача физически поставлена не совсем корректно, т. е. не имеет физического смысла. Этот случай назовем особым. Интерес представляет неособый случай фо Ф 0.

В преобразованной задаче роль независимого аргумента играет вектор у = (z^r ф^Т А^т)^т, а роль подынтегральной функции — функция Лагранжа. С учетом того, что функция Лагранжа не зависит от производных ф и А, уравнения Эйлера принимают вид (см. (9.21)).

Уравнения (9.236) совпадают с уравнениями (9.22а) и (9.226). Поэтому достаточно ограничиться уравнениями (9.23а) и решать их совместно с уравнениями (9.22а) и (9.226) при краевых условиях (9.22в). Уравнения (9.23а) называют уравнениями ЭйлераЛагранжа.