Предыстория математической логики и ее анализ

Аксиоматика общей теории надежности (АТН) содержит квадрограф времени, логический аспект существенным образом включен в него. В своей многогранной деятельности А. Н. Колмогоров ставивил на ноги науку о надежности и математическую логику, которой отдал большую часть своей жизни.

Авторами при написании данного параграфа использована книга «Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей», созданная большим авторским коллективом¹. Мы придаем особое значение вкладу Г. В. Лейбница, переводы его трудов с латинского на русский язык были осуществлены всего лишь лет 20 назад. Предыстория дана в данной книге, поскольку представляется, что она имеет значение для формирования будущих надежностников. Данный материал изложен здесь в рамках представлений авторов о развитии науки про надежность.

Итак, в известном трехтомнике «История математики»^[1][2] математическая логика специально не рассмотрена. Предпошлем краткий обзор ее предшествующей истории анализу развития математической логики в XIX в.

Ее начала, систематическое построение и изложение логики можно отыскать в трудах Аристотеля (384—322 гг. до н.э.), объединенных его комментаторами под общим названием «Органон». В «Органон» включены следующие работы: «Категории» (об именах), «Об истолковании» (о суждениях), «Первая аналитика» (об умозаключениях), «Вторая аналитика» (о доказательствах), а также «Топика» (о доказательстве, опирающемся на положение, представляющееся вероятным) и примыкающее к ней произведение «Опровержения софистических аргументов». В работе «Вторая аналитика» дана аристотелевская теория доказательств и сформулированы требования, которым должна соответствовать «доказывающая наука», в частности математика. Лейбниц отмечал строгость логических рассуждений Аристотеля, в частности он писал: «Аристотель был первым, кто писал математически в нематематике»¹.

Своеобразная логика высказываний — логика совсем другого стиля (подхода) — была создана философами так называемой мегарской школы. Ее основателем был Евклид из Мегар (ок. 450 — 380 до н.э.), ученик Сократа. А уже учеником этого Евклида был Евбулит из Милета (IV в. до н.э.), который, как считают, рассмотрел известные парадоксы: «Куча», «Лжец» и др. Мегарская школа окончилась работами Филона (ок. 300 до н.э.).

Примерно в это же время ученик Филона Зенон из Китиона (ок. 336 264 до н.э.) создал школу стоиков, воспринявших и развивших идеи и стиль мегариков. Их наиболее видным представителем был знаменитый Хризипп (ок. 281—208 до н.э.), о нем в свое время даже говорили, что «если бы боги нуждались в логике, то это была бы логика Хризиппа»^[3][4]. Дошедшие до нас отрывки работ по логике этих школ (мегарской и стоической) фактически предвосхищает исчисление высказываний современного уровня.

Мало исследован с точки зрения истории логики период позднегреческой и римской Античности. Считают что в этот период логика почти не двинулась вперед. К этому времени тем не менее принадлежат известные работы «Комментарии к Аристотелю» Александра Афродизийского (I—II вв.), «Введение к Категориям Аристотеля» Порфирия (ок. 232 — ок. 304) и Боэция (ок. 480 — ок. 524), бывшего переводчиком и комментатором Аристотеля и Порфирия.

Логика как самостоятельная наука в раннее Средневековье развивалась в арабоязычной литературе. Достаточно упомянуть логические трактаты Абу Насра ал-Фараби (ок. 870 — 950), «Книгу исцеления» (души от невежества) Абу Али ибн-Сииы (Авиценны, 980—1037), комментарии к Аристотелю Ибн Рушда (Аверроэса, 1126—1198), логический трактат «Основы приобретения [знаний]» Насир ад-Дина ат-Туси (1201 — 1274), продолжавшего и развивавшего традиции, заложенные ал-Фараби и Ибн Синой. В этих сочинениях, в частности, излагалось и комментировалось содержание «Органона» Аристотеля, развивалось его учение о силлогизмах.

В Европе XII—XIV вв. господствовала схоластическая логика. Логика Аристотеля была приспособлена к нуждам церкви. В трудах Пьера Абеляра (1079—1142), Дунса Скотта (ок. 1270 — 1308), Петра Испанского (ок. 1215 1277), Уильяма Оккама (ок. 1300 — ок. 1350) и других закладывается уже более новая логика (logica modemomm). В сочинениях встречается целый ряд законов логики высказываний, в их числе законы, ныне известные как законы де Моргана, возникают идеи универсума и некоторые другие.

К этому же временному периоду относится идея механизации логических процессов, высказанная испанцем Р. Луллием (ок. 1235 — 1315) в работе «Великое и последнее искусство» (Ars magna et ultima).

Без особых потерь для полноты изложения исторического экскурса перейдем теперь от XIV к XVII в., здесь уже вопросы логики, ее построения на новой математической основе привлекли внимание нескольких известных ученых, из которых самым крупным был Г. И. Лейбниц¹.

Символическая логика Г. В. Лейбница. Для Лейбница характерно понимание логики в широком смысле. Он относил к ней искусство суждения, доказательства известных истин, как, например, аналитику Аристотеля. К логике же он прибавлял искусство открытия, изобретения новых научных взглядов и истин.

Большое влияние на молодого Лейбница оказало изучение трудов Аристотеля, повлиявшее на формирование его мировоззрения, подходы к логике. Лейбниц высоко ценил, в частности, силлогистику Аристотеля, им сказано: «Изобретение силлогистической формы — одно из прекраснейших и даже важнейших открытий человеческого духа. Это своего рода универсальная математика, все значение которой еще недостаточно понято»^[5][6].

Тем не менее силлогистика Аристотеля не является, конечно, единственной формой вывода; возможны и их более сложные формы, к таковым сложным формам дедукции Лейбниц относил, в частности, правила сложения, умножения, перестановки членов пропорций. Он признавал достоверным результаты оперирования по этим правилам, считая, что сам процесс получения результата по ним есть доказательство (argument in forma)^[7].

Лейбницем был намечен план усовершенствования и построения логики, который был таков.

Вначале требуется провести анализ всех понятий, привести их к сочетаниям из наиболее простых понятий, неопределяемых понятий, составляющих что-то вроде «алфавита человеческих мыслей». После этого из этих простых исходных понятий все остальные понятия могут быть получены путем комбинирования. Анализ понятий позволит провести вместе с тем доказательства всех известных истин, т. е. составить своеобразный их свод — «доказательную энциклопедию». Наконец, необходимо ввести подходящие символические обозначения для исходных и составных понятий и суждений, создать «всеобщую символику» или «универсальную характеристику».

Символике Лейбниц придавал большое значение. Он подчеркивал, что удачная символика может стать решающим фактором, отмечал, что своими успехами алгебра того времени в значительной мере обязана удачной символике Ф. Виетта и Р. Декарта.

Лейбниц предполагал, что всеобщая символика призвана служить международным вспомогательным языком для выражения всего существующего или возможного знания, а также орудием открытия и доказательства новых истин, или, как он говорил, искусством изобретения. Для этой последней цели требуется логическое исчисление, создание которого и должно завершить построение новой логики. Лейбниц полагал, что новая логика позволит легко разрешать споры. При наличии различных мнений по какому-либо вопросу противники возьмут перья и скажут: «Посчитаем!».

С составления «алфавита человеческих мыслей» и начал Лейбниц уточнение традиционной логики. Он исходил из того, что существует некоторое конечное число исходных понятий, на которые разлагаются все остальные понятия и из которых могут быть средствами комбинаторики составлены новые понятия. Задача будет решена, «если удастся найти небольшое число мыслей, из которых по порядку возникает бесконечно много других мыслей. Так, из немногих чисел, начиная от 1 до 10, происходят по порядку все остальные числа»^[8].

Исходные понятия Лейбниц называет терминами первого порядка и помещает их в первый класс. Второй класс образуют термины второго порядка, т. е. сочетания терминов первого порядка по два. Пары, отличающиеся порядком следования терминов, не различаются. Третий класс составляют термины третьего порядка, образуемые сочетанием по три термина первого порядка или сочетанием терминов первого порядка и второго порядка, и т. д.

В зависимости от способа комбинирования каждый составной термин может иметь несколько выражений. Для выяснения тождественности выражений достаточно разложить выражения на простые, т. е. на термины первого порядка: если окажется, что соответствующие термины первого порядка совпадают, то данные выражения являются записью одного и того же составного термина. Таким образом, анализ любого понятия состоит в разложении его на составляющие элементы — термины первого порядка. Каждое суждение Лейбниц представляет в субъектно-предикатной форме a est b (а есть Ь). Истинными он называет суждения, предикат которых содержится в субъекте. Для анализа некоторой истины нужно оба термина суждения о рассматриваемой истине разложить на исходные понятия и сопоставить их.

Между анализом истин и анализом понятий существует различие: если предполагается, что анализ понятия для исходного суждения обязателен (и возможен), то при анализе истин не предполагается, что он обязательно будет законченным.

На рис. 1.4 приведены примеры линейных и круговых схем Лейбница для представления некоторых модусов силлогизмов типа ааа и еее, обычно называемых Barbara и Cesare (рис. 1.5). Так как схема суждения SaP может быть понята и как «Некоторые Р не суть 5», схемы же для SiP и SoP практически одинаковы.

Однако эта работа Лейбница оставалась неизвестной до 1903 г., когда была опубликована Л. Кутюра. Основателем геометрических методов в логике принято считать Л. Эйлера. Интерпретацию силлогистики Аристотеля на схемах с кругами Эйлер изложил во втором томе своих «Писем к одной немецкой принцессе»^[9].

Рис. 1.4. Линейные и круговые схемы Лейбница.

Рис. 1.5. Один из примеров анализа модусов силлогизмов типа ааа и еае.

Как уже указывалось, усовершенствование логики Лейбниц предполагал завершить созданием логического исчисления. Он сделал несколько набросков логического исчисления, однако ни один из них не был разработан детально и доведен им до конца.

Для обозначения терминов Лейбниц использовал строчные латинские буквы а, b, с, …. У него имеется одна двуместная операция — приписывание символа справа — ab. Из правил вывода ясно сформулировано правило подстановки, разрешающее в истинном суждении заменять некоторую переменную термином или другой переменной. В качестве связок между переменными он использовал est для включения, sunt idem или eadem sunt для равенства, diversa sunt для неравенства. Отрицание а обозначается через поп а. Хотя Лейбниц различал аксиомы логического исчисления (propositiones per se varae) и суждения, выводимые из аксиом (veraepropositiones), однако четкого разграничения аксиом и теорем в его исчислениях нет. Приводя ряд утверждений, он доказывает лишь некоторые из них.

В качестве примеров аксиом, видимо, можно привести следующие утверждения:

Примеры теорем:

• (1) Если a est Ь_у то ас est be.
• (2) Если a est Ь и b est а, то а = Ь.
• (3) Если aestewb est с, то ab est с.

В силу различных обстоятельств большая часть работ Лейбница, относящихся к логике, увидела свет уже в начале XX в. Изучение наследия Лейбница в этой области явилось большой заслугой французского математика и философа Луи Кутюра (1868—1914), который сперва на основе изучения рукописей Лейбница, хранящихся в Ганновере, написал книгу «Логика Лейбница»¹, а затем опубликовал не раз цитированные «Opuscules et fragments inedits de Leibniz», содержащие более 200 неизданных ранее заметок и фрагментов.

Неверно думать, что идеи Лейбница не сыграли роли в формировании математической логики. Они оказали влияние на некоторых ученых XVIII в., таких, например, как И. А. фон Зегнер (1704—1777), который занимался не только математикой и естествознанием^[10][11], но и логикой, где довольно широко применял символические обозначения. Так же как и профессор логики и философии в Тюбингене Г. Плукэ (1716—1790), пытавшийся разработать целую систему логического исчисления (des logischen Kalkuls). Оригинальные идеи в логику ввел выдающийся математик И. Г. Ламберт, имя которого не раз встречается в 3-м томе «Истории математики». Не входя в разборку соответствующих работ Ламберта, в значительной части относящихся к исчислению высказываний, и его споров, но некоторым вопросам с Плукэ, отметим, что у него уже встречается идея квантификации предиката, вновь получившая развитие в трудах английских ученых XIX в.

Математическая логика возникает в результате применения математических, в особенности алгебраических, методов к решению задач в логике. Элементы математической логики возникали в работе математиков и логиков предшествующих периодов. Однако самостоятельной научной областью математическая логика становится в XIX в., тогда же входит в обиход и термин «математическая логика». Одной из основных задач логики всегда оставалась проблема вывода следствий из посылок. Как будет показано, количественное определение сказуемого позволяет, дает возможность выразить исходные данные, рассматриваемые как посылки, в виде равенств. По аналогии с алгеброй можно найти варианты преобразования этих равенств, ввести операции, аналогичные операциям алгебры. Подобные аналогии были замечены давно, и Лейбницу удалось продвинуться вперед в работе по алгебраизации логики. Эти идеи довольно полно были воплощены в работах ученых нового направления логики в XIX в. В результате попыток приспособления аппарата алгебры к нуждам логики возникает алгебраическая структура, которую стали называть булевой алгеброй. Вот современное ее определение.

Булевой алгеброй называется множество Л с двумя выделенными элементами, обозначаемыми 0 и 1, в котором определены две двуместные операции — +, • и одна одноместная.

(пустое место, выделенное штриховым квадратом, что для вставки символа, черта над ним — отрицание), такие.

х * у = у х, х + у = у + х, х • (у • z) = (х • у) • z; х + (у + z) = (х + у) + z; х — (х + у) =х, х + х • у = х; х • (у + z) = х • у + х • z; хх- 0; х + х = 1.

Одним из примеров булевой алгебры является алгебра классов, в которой элементами служат классы — подмножества некоторого фиксированного множества U, называемого универсумом, где 0 обозначает пустой класс, + — объединение, • — пересечение, Г j — дополнение до U. Под классами часто понимаются объемы терминов, поэтому алгебру классов называют иногда логикой классов.

Первые системы указанного выше типа сформировали Дж. Буль и А. де Морган, в дальнейшем они были усовершенствованы в трудах других логиков XIX в. Квантификация предиката (количественное определение сказуемого) была осуществлена несколько раньше.

Квантификация предиката. В традиционных категорических суждениях глагол «есть» (суть) понимается как нестрогое включение. Например, предложение «все х суть у» может означать как «х равно у», так и «х составляет (собственную) часть у». Квантификация предиката состоит в уточнении того, весь объем сказуемого или только его часть совпадает (или нс совпадает) с объемом подлежащего. Это уточнение достигается добавлением выражения «все» или «некоторые» к именной части сказуемого. В результате вместо четырех традиционных форм категорических суждений.

а: «всехсутьу» е: «ни один х не есть у» i: «некоторые х суть г/»; о: «некоторые х не суть у»

получается восемь форм:

«всехсуть всеу»

«все х суть некоторые у»

«некоторые х суть все у»

«некоторые х суть некоторые г/»;

«ни одно х ни есть ни одно у»;

«ни одно х не есть некоторое у»;

«некоторые х не суть некоторые у»;

«некоторые х не суть ни одно у».

При этом изменяют свой традиционный смысл понятия «все» и «некоторые». Традиционно «некоторые» понимались как «некоторые, а возможно и все», теперь они понимается как «по крайне мере некоторые, но не все». Понятие «Все» употребляется в коллективном смысле, в смысле объема всего класса. Так, в суждении вида «все х суть все у» речь идет о полном совпадении объемов подлежащего и сказуемого¹, т.с. о равенстве х и у, и его можно записать в видех = у. Если обозначить через v некоторый собственный подкласс класса у> то суждение «все х суть некоторые у», т. е. включение х в у у можно записать в виде равенства х = vy. Аналогично можно записать и все остальные предложения.

Истолкование элементарных предложений традиционной силлогистики с точки зрения тождества (равенства) объемов субъекта и предиката было дано английским ботаником Дж. Бентаном (1800—1884). Его работа «Набросок новой системы логики»^[12][13], в которой это истолкование было приведено, осталась вначале незамеченой. Независимо от Бентона указанные восемь форм получил шотландский философ У. Гамильтон (1788—1856), профессор логики и метафизики Эдинбургского университета^[14].1 [одробное изложение результатов Гамильтона содержится в его «Лекции о метафизике и логике»^[15].

Несколько позднее Гамильтона к аналогичным идеям в области силлогистики пришел А. де Морган, который, однако, продвинулся в разработке логики гораздо дальше. Узнав об одной работе, посланной де Морганом Кембриджскому философскому обществу, Гамильтон направил де Моргану резюме своей концепции логики. Вскоре между ними вспыхнул долгий и бесплодный спор о приоритете, который мы оставим в стороне и обратимся к логике де Моргана.

• [1] Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / под ред А. Н. Колмогорова, А. II. Юшкевича. М.: Наука, 1978.
• [2] История математики. В 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970.
• [3] Leibniz G. W. Fragmente zur Logik. Berlin, 1960. S. 7.
• [4] См.: Математика XIX века. С. 11. Или в другом переводе: «Слава его в искусстведиалектики была такова, что многим казалось: если бы боги занимались диалектикой, онибы занимались диалектикой по Хрисиппу», читаем мы на с. 324 у Диогена Лаэртского (О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М.: Мысль, 1979).
• [5] История математики. В 3 т. Т. 2. С. 251—252.
• [6] Лейбниц Г. В. Новые опыты о человеческом разуме. М.; Л.: ОНТИ, 1936. С. 423.
• [7] Leibniz G. W. Fragmente zur Logik. S. 7—9.
• [8] Opuscules et fragments ine’dits de Leibniz. L. Couturat (ed.). Paris, 1903. P. 429—432.
• [9] Letters a une princesse cTAllemagne sur divers sujets de physique et de philosophic. T. 2. St.-Peterbourg, 1768 (эти «Письма» также были опубликованы в Opera omnia. Ser. 3. Vol. 11 — 12).Имеется русский перевод С. Я. Румовского: Эйлер Л. Письма о разных физических и филозофи-ческих материях, писанные к некоторой немецкой принцессе. Ч. 2. СПб., 1772 (и другие издания).
• [10] Couturat L. La Logique de Leibniz. Paris, 1901.
• [11] См.: История математики. T. 3. С. 97.
• [12] Подлежащее (или, что-то же, субъект суждения) — та часть суждения, которая отображает предмет мысли); сказуемое (то же, что предикат суждения) — то, что высказывается (утверждается или отрицается) в суждении о субъекте (Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 473, 574).
• [13] Bentham G. Outline of a new system of logic. London, 1827.
• [14] Философа Уильяма Гамильтона не следует смешивать с его несколько младшим современником — ирландским математиком Уильямом Роуеном Гамильтоном.
• [15] Hamilton W. Lectures on metaphysics and logic. Edinburg; London, I860.