Экстраполяционные методы прогнозирования

Суть прогнозной экстраполяции заключается в нахождении закономерностей, присущих развитию объекта в прошлом, и использовании этих закономерностей для построения прогноза.

Как уже было отмечено, инновационные процессы характеризуются нелинейностью и переломом сложившейся тенденции. По этой причине экстраполяционные методы непосредственно не могут быть использованы для прогнозирования инноваций. В то же время без них практически невозможно обойтись при планировании и прогнозировании поведения сложных систем. Прогноз значений отдельных параметров внешней среды, оперативный мониторинг — вот основные задачи, решаемые с помощью данной группы методов.

Методы прогнозной экстраполяции применимы к объектам, чьи характеристики имеют форму временных (динамических) рядов.

В каждый момент времени на исследуемую характеристику воздействует большое количество факторов. Их совместное влияние формирует конкретное значение данного члена динамического ряда. Экстраполяционные методы используют в том случае, когда нет возможности выявить существенные факторы и раздельно учесть влияние каждого из них. В общем случае значение характеристики процесса в момент времени t можно представить выражением.

где - фактическое значение характеристики; - закономерная (неслучайная) составляющая характеристики; - случайная составляющая.

Напомним, что существует ряд простых показателей, характеризующих динамический ряд. Они могут быть трех видов: цепные, базисные и средние.

При расчете цепных показателей каждый член ряда сравнивается с предыдущим, а при расчете базисных показателей члены ряда сравниваются с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения. Среднее значение является как бы «типичным представителем» ряда и может быть вычислено как на основе цепных, так и на основе базисных показателей. Средние значения могут быть использованы для приблизительного (оценочного) прогнозирования исследуемой характеристики. К ним относятся: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост и средний цепной темп роста.

Процессы, характеризуемые постоянными темпами роста и прироста, могут быть описаны экспоненциальной функцией.

где b — мгновенный темп прироста.

Прогноз на k шагов вперед может быть рассчитан по формуле.

Средний цепной темп роста можно использовать при краткосрочном прогнозировании для получения приближенной точечной оценки характеристики процесса. Разумеется, такая оценка, строго говоря, не может считаться прогнозом. Но тем не менее этот метод благодаря своей простоте и наглядности часто используется именно с этой целью. Его применение может давать хорошие результаты при условии, если процесс развивается по экспоненте и период упреждения небольшой (один или два шага).

О достоверности (надежности) прогноза здесь говорить не приходится, поскольку нет возможности рассчитать доверительный интервал (прогноз точечный).

В экстраполяционном прогнозировании широкое применение находят различные методы сглаживания динамических рядов. Сглаживание используется, во-первых, для выявления общих тенденций развития процессов. Во-вторых, эти процедуры лежат в основе многих методов краткосрочного прогнозирования как для условно-стационарных рядов, так и для нестационарных рядов.

Суть методов сглаживания заключается в замене фактических членов динамического ряда расчетными значениями, представляющими собой взвешенную сумму членов исходного ряда, т. е.

где  — сглаженное значение члена ряда с номером t; фактическое значение i-го члена ряда;  — вес значимости i-го члена ряда, причем ; п — общее число членов исходного ряда.

Веса значимости характеризуют вклад каждого члена ряда в формирование нового (сглаженного) значения.

В результате этой процедуры мы получим новый динамический ряд . Этот ряд отличается от исходного меньшим уровнем вариации, что говорит об уменьшении роли случайной составляющей в формировании значений ряда.

Рассмотрим наиболее распространенный метод сглаживания — сглаживание по экспоненциальной средней.

Особенности данного метода:

• • в сглаживании участвуют все члены исходного ряда;
• • более позднее наблюдение имеет вес больший, чем у любого из предыдущих.

Прежде всего необходимо выбрать параметр сглаживания а, который задает вес текущего наблюдения ().

Чем больше а, тем активнее текущее наблюдение влияет на результат сглаживания. На практике наиболее часто выбирают . Сглаженное значение ряда ut вычисляют по формуле.

Нетрудно заметить, что веса с ростом i убывают по экспоненциальному закону, что и дало название этому методу. Сумма весов стремится к 1.

Путем несложных подстановок можно получить итеративную формулу для расчета экспоненциальной средней:

В качестве можно выбрать, например, или среднее значение нескольких первых членов ряда. С увеличением длины ряда вес будет быстро убывать, и этот член перестанет играть сколько-нибудь существенное значение в расчетах.

При краткосрочном прогнозировании характеристик, представленных условно-стационарными рядами значений, в качестве прогноза берут последнее сглаженное значение ряда . В этом случае формулу для расчета можно преобразовать следующим образом:

где  — ошибка прогноза.

На основе этой формулы предложен способ подбора параметра а, легко реализуемый с помощью ЭВМ. При этом способе рекомендуется брать такое значение , которое минимизирует сумму квадратов ошибок

Метод экспоненциального сглаживания используется в прогнозировании не только для стационарных рядов, но и для рядов, чье среднее значение растет, уменьшается или подвержено сезонным колебаниям. Метод используют в моделировании, интерпретируя как вероятность или как вес значимости какого-либо события, явления.

Принцип сглаживания случайных колебаний лежит в основе различных методов адаптивного краткосрочного прогнозирования, используемых для оперативного мониторинга процессов и разработки быстрых прогнозов.

При изучении социально-экономических процессов иногда бывает сложно выявить отдельные факторы, влияющие на изменение соответствующих показателей, или описать количественно характер этого влияния.

В то же время в ходе развития процесса во времени могут наблюдаться устойчивые закономерности (тенденции), например тенденция к росту, уменьшению или стабилизации значений показателя. В этом случае можно попытаться построить модель развития процесса в форме тренда.

Тренд — это плавная кривая, описывающая в среднем изменение исследуемой характеристики во времени.

Для аналитического описания формы тренда используют ряд простейших типовых функций, которые еще называют прогностическими. К ним относятся, например, линейная функция, экспонента, гипербола, логарифмическая функция, S-образная кривая и др.

Эти функции отражают характер реальных процессов. Линейная функция описывает процессы, характеризующиеся равномерным развитием во времени; экспонента характеризует процессы с ускоренным ростом или плавным затуханием соответствующего показателя при постоянном темпе его роста (спада); гипербола соответствует процессам с насыщением, которые (в зависимости от параметров) характеризуются неравномерным ростом или спадом значений показателя и т. д.

Тренд в общем случае может быть описан комбинацией нескольких прогностических функций или одной из них —

Построение трендовой модели осуществляется в следующей последовательности:

• 1) выбор формы кривой;
• 2) оценка параметров;
• 3) анализ качества модели.

Выбор формы кривой тренда. Аналитическая форма кривой должна выбираться на основе качественного анализа исследуемого процесса. Однако на этом этапе может существовать некоторая неопределенность, не позволяющая сделать окончательный выбор. Тогда рекомендуется использовать ряд формальных приемов для более четкого выявления закономерностей развития процесса. К ним относятся методы сглаживания динамических рядов и исключение нетипичных точек, появление которых явно связано либо с ошибками измерения, либо с маловероятным стечением обстоятельств. Если же этого недостаточно для решения вопроса о форме кривой, то можно использовать формальные методы, например метод наименьших квадратов.

Оценка параметров кривой тренда. После того как проблема выбора формы тренда решена, необходимо найти (оценить) значения параметров уравнения кривой па основе статистических данных, которые представлены в виде динамического ряда исследуемой характеристики у. Для этих целей используют метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в подборе таких значений параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений динамического ряда от соответствующих значений, рассчитанных по уравнению кривой, была бы минимальной.

В том случае, если трендовая модель имеет форму нелинейной функции времени, система уравнений для нахождения параметров может получиться достаточно сложной. Метод наименьших квадратов в этом случае называют нелинейным методом наименьших квадратов, а при решении системы нелинейных уравнений используют довольно трудоемкие математические методы.

Более простой приближенный способ получения оценок параметров нелинейной модели заключается в приведении ее к линейному виду посредством ряда несложных преобразований. Этот способ называется методом линеаризации модели. Для получения оценок параметров линеаризованного уравнения применяют обычный метод наименьших квадратов, а затем осуществляют обратные преобразования. Следует отметить, что линеаризация уравнения зачастую дает несколько смещенные оценки параметров (например, при логарифмировании). При высоких требованиях к точности следует пользоваться нелинейным методом наименьших квадратов.

Анализ качества трендовой модели. После того как модель построена, необходимо оценить ее качество. Качество модели определяет ее пригодность для практического использования, т. е. степень адекватности реальному процессу. Оценка качества модели включает оценку значимости модели и анализ случайной составляющей.

Значимость трендовой модели определяется значимостью всех коэффициентов уравнения. Коэффициент считается значимым, если он существенно отличается от нуля. Значимость коэффициента проверяется с помощью^{-критерия} Стьюдента. Расчеты, как правило, производятся с помощью компьютерных программ (например, SPSS, Statistica, STADIA, STATGRAPIIICS и др.), поэтому мы не будем приводить здесь формулы для расчета критериев и параметров уравнений модели.

Расчетное значение^{-критерия} Стьюдента (tp) сравнивается со значением ta, которое выбирается из соответствующей таблицы в зависимости от доверительной вероятности Рдов (или уровня значимости, а = 1 — Рдов) и числа степеней свободы v = п — т, где п — число наблюдений, т — число параметров уравнения.

Если tp > ta, то коэффициент можно считать значимым с вероятностью Рдов.

Пример. Имеем динамический ряд из 44 значений показателя у. Допустим, что для данного показателя построена модель в форме линейного тренда у = а Ы. Коэффициенты а и b рассчитаны по методу наименьших квадратов: а = 117,79; b = -0,2.

Тогда уравнение тренда: у = 117,79 — 0,2/.

Расчетные значения t-критерия равны: t" = 194,48; th = 3,04.

Для доверительной вероятности Рдов = 0,95 (или уровня значимости 0,05) выбираем из таблицы значение критерия ta для числа степеней свободы 42 (v = п — т = 44 — 2 = 42): ta = 2,02.

Поскольку t" > ta и tb > t", то оба коэффициента являются значимыми. Следовательно, значима и сама линейная модель.

Для того чтобы модель была пригодна для прогнозирования, значимости коэффициентов недостаточно. Необходимо также исследовать случайную составляющую модели. Сначала необходимо уяснить характер случайной составляющей процесса — закон распределения и основные статистические показатели. При исследовании социально-экономических процессов, как правило, принимается следующая гипотеза: случайная составляющая подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием, равным нулю, постоянной дисперсией и независимостью любых двух последовательных значений друг от друга.

Напомним, что случайная составляющая оценивается остатками: {е,} = {у, -/(/)}.

Рассмотрим по порядку все перечисленные требования к случайной составляющей.

1. Нормальный закон распределения.

Существует ряд критериев (критерий Пирсона, критерий Колмогорова), с помощью которых может быть проверена гипотеза о принадлежности выборки значений случайной величины из генеральной совокупности какому-либо закону распределения вероятностей. Описание этих критериев и способов их применения можно найти в учебниках по теории вероятностей и математической статистике. Самый простой способ оценки вида функции распределения вероятностей — визуальный, с помощью гистограммы.

2. Равенство нулю математического ожидания.

Это требование выполняется всегда, если для оценки параметров модели используется метод наименьших квадратов.

3. Постоянство дисперсии.

Постоянство дисперсии можно проверить с помощью критерия Фишера (/'-критерия). Критерием Фишера исследуют гипотезу о равенстве двух дисперсий 5, и S2.

Если в качестве взять дисперсию первых п/2 членов ряда, а в качестве S2 - дисперсию последних п/2 членов ряда, то с помощью /•'-критерия можно сделать вывод о равенстве или неравенстве этих дисперсий.

Если Ер < Ри, то дисперсии 5, и 52 можно считать равными и, следовательно, дисперсию остатков постоянной. Здесь Ер и F0- расчетное и табличное значения критерия соответственно.

4. Отсутствие автокорреляции остатков.

Последнее требование к случайной составляющей состоит в том, что любые два ее последовательных значения должны быть независимы друг от друга (некоррелируемы). Это свойство проверяется с помощью критерия Дарбина — Уотсона, который может быть рассчитан по формуле.

Когда автокорреляция полностью отсутствует, то . Тогда d = 2.

При положительной автокорреляции 0 < d < 2, при отрицательной 2 < d < 4.

Для различных уровней доверительной вероятности определены критические границы, позволяющие вынести суждение о наличии или отсутствии существенной автокорреляции 1-го порядка. Для этого из таблицы значений (/-критерия (в зависимости от доверительной вероятности Ра, количества наблюдений п и числа независимых переменных k уравнения модели) выбирают два граничных значения критерия: dt и du (рис. 2.5). Если расчетное значение (/-критерия лежит в пределах от du до 4 — du, то можно считать, что автокорреляция отсутствует. Если d < dt или d > > 4 — d/, то имеет место автокорреляция остатков. Для прочих значений d-критерия нельзя вынести определенного суждения по этому вопросу.

Рис. 2.5. Область допустимых значений критерия Дарбина — Уотсона.

Если с помощью критерия Дарбина — Уотсона мы обнаружили существенную автокорреляцию остатков, то следует пересмотреть решение о форме кривой тренда.

Невыполнение хотя бы одного из рассмотренных выше требований к случайной составляющей говорит о непригодности построенной модели для практического использования.

Если мы смогли построить несколько моделей, оценка качества которых оказалась удовлетворительной, то дальнейшие исследования должны быть направлены на выбор наилучшей модели.

Формальный подход к решению этой проблемы состоит в следующем: наилучшей следует считать такую модель, для которой сумма квадратов остатков минимальна по сравнению с другими моделями. Часто используют и другие критерии: коэффициент корреляции и критерий Фишера. Однако следует заметить, что наилучшая модель, выбранная по критерию минимальной суммы квадратов остатков, окажется наилучшей и по другим упомянутым критериям.

Прогноз по трендовой модели строится в форме доверительного интервала. Среднее значение определяется, но уравнению модели, а ширина доверительного интервала зависит от дисперсии случайной составляющей, периода упреждения и выбранной доверительной вероятности.

Например, доверительный интервал прогноза для линейного тренда на момент времени tp может быть рассчитан по формуле.

где 5 — среднеквадратическое отклонение остатков; ур - значение, рассчитанное по уравнению тренда для момента времени tp ta — значение^{критерия} Стьюдента, выбранное из таблицы для доверительной вероятности Рдов = 1 — а и числа степеней свободы v = п — 2; п — количество наблюдений.

Из этого выражения видно, что чем дальше момент прогнозирования от середины ретроспективного периода, тем шире доверительный интервал прогноза (рис. 2.6).