Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате п независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема п:

значения признака х_х х₂… х_к

частоты… я, п₂…п_к

При этом п_х + п₂ +… + п_к — п.

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию D_y. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой D_y,

другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно.

Легко «исправить» выборочную дисперсию гак, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить D_h на дробь п/(п — 1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через .v²:

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

Подчеркнем, что5 не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Замечание. Сравнивая формулы.

видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, при достаточно больших значениях п объема выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно п < 30.

§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность…