Теория важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений

Многокритериальные задачи принятия решений

Чрезвычайно широкий и исключительно важный с практической точки зрения класс задач обоснования принимаемых решений составляют многокритериальные задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно. Поставленная задача существенно усиливается в условиях проблемы нахождения решений при ограниченных возможностях (ресурсах). С развитием экономико-математических методов значительное развитие получают методы математического обоснования принятия решений на основе оценки возможных вариантов. Концепция принятия решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одного из ряда вариантов (альтернатив, планов, стратегий и т. д.) Этот выбор производит лицо, принимающее решение, которое стремится к достижению определенных целей. В его роли выступает человек (или группа людей), обладающий правами принятия решения, возможностями его реализации и несущий ответственность за его последствия (например, руководитель организации, совет директоров, ведущий конструктор, военачальник, главный тренер, наконец, гражданин, семья — все зависит от конкретной ситуации принятия решения).

Еще совсем недавно считалось, что выработка решения является искусством, основанным на опыте, знаниях и интуиции. Однако в современных условиях только этого недостаточно для выработки даже просто приемлемых решений в сложных, масштабных, ответственных практических задачах. Поэтому стали интенсивно развиваться научные методы анализа решений, в рамках которых созданы специальные информационно-аналитические технологии, опирающиеся на новые математические методы.

Обратите внимание!

Применение математических методов предполагает построение математической модели объекта анализа. При построении модели ситуации принятия решения дается формализованное описание доступных вариантов действий и возможных последствий их реализации. При этом особое внимание уделяется выявлению и описанию предпочтений ЛПР.

Цели ЛПР чаще всего моделируются стремлением к увеличению или же уменьшению специальных функций, называемых критериями (а также показателями эффективности или качества, целевыми функциями). В относительно простых случаях удается обойтись одним критерием. И тогда наилучшим, или оптимальным, вариантом считается тот, который максимизирует или же минимизирует этот критерий. В качестве примера укажем на задачу планирования перевозок, известную под названием «транспортная задача». Вербальная постановка задачи может формулироваться следующим образом. Имеются склады, на каждом из которых хранится определенное количество (запас) некоторого однородного материала (песка, угля, зерна и т. п.). Имеются также заказчики, для каждого из которых известен его запрос (потребность, заявка) на определенное количество этого материала. Предполагается, что суммарные запасы на складах равны сумме запросов потребителей. Под планом перевозок понимается указание, сколько материала следует доставить (перевезти) с каждого склада тому или иному потребителю, причем запросы всех потребителей должны быть удовлетворены (при этом запасы всех складов окажутся исчерпанными). Известны стоимости перевозки единицы материала с каждого склада каждому потребителю. Требуется составить такой план, чтобы суммарная стоимость перевозок, являющаяся критерием, была минимальной.

Однако в более сложных случаях обойтись одним критерием не удается, и тогда задача называется многокритериальной. Например, в задаче выбора центра обработки данных (ЦОД) необходимо учитывать экономические, социальные и иные последствия, каждое из которых может характеризоваться одним или же несколькими критериями. Принципиальная сложность многокритериальных задач состоит в том, что обычно не существует варианта, который был бы наилучшим сразу по всем критериям: если по одному из критериев вариант очень хорош, то по другому, как правило, он будет далеко не лучший. Так, если в транспортной задаче учитывать не только стоимость, но и время перевозок, то более быстрая доставка (скажем, авиатранспортом) весьма дорога, а более дешевая (например, водным транспортом) занимает много времени. И поэтому выбор наилучшего варианта связан с необходимостью разрешения центральной в теории принятия решений при многих критериях проблемы замещений (компенсации), т. е. проблемы сопоставления по предпочтению (с точки зрения ЛПР) потерь по одним критериям с выигрышами по другим. Она решается по-разному в рамках различных методов многокритериальной оптимизации.

Многообразие многокритериальных задач породило огромное число методов их анализа. Одним из основных понятий, используемых в подавляющем большинстве таких методов, является понятие относительной, или сравнительной, важности (весомости, значимости) критериев. Однако никаких строгих (формальных) определений этого понятия разработчики методов не давали, ограничиваясь интуитивными представлениями о нем.

Выбирая в качестве оценочной структуры задачи принятия решения (ЗПР) одну оценочную или целевую функцию, ЛПР сравнивает варианты решения в целом. Однако во многих задачах необходимо проводить сравнение по нескольким аспектам. В такой ситуации будем рассматривать вектор оценочных (целевых) функций

где т — количество рассматриваемых параметров.

Так, покупая автомобиль, мы помимо его стоимости оцениваем безопасность, надежность, внешний вид, комфортность управления. Для кого-то важными характеристиками окажется грузоподъемность, расход топлива, для других — максимальная скорость и время разгона до 100 км/ч.

Функция f (x) в общем случае есть не что иное, как способ выражения руководителем различий в оценке вариантов^[1].

Выбор подмножества У_л лучших вариантов из А по заданному критерию f (x) называется нахождением экстремума, если он осуществляется по правилу^[2]

или Во многих случаях задается нс один критерий, а вектор критериев х = {x_i9 i— 1, т), где i — номер критерия, а т — число критериев. В этом случае скалярные неравенства (12.1)—(12.2) должны быть заменены векторными

Характеризуя систему, сложно выбрать такой один критерий, который бы обеспечил всю полноту требований. А стремление к всеобъемлющему решению и назначение большого числа критериев сильно усложняет задачу. Поэтому в разных задачах количество критериев может быть различным.

Обратите внимание!

Задачи однокритериальной оптимизации (с одним критерием оптимизации) иногда называют скалярными задачами, а задачи многокритериальной оптимизации — задачами векторной оптимизации.

Кроме того, количество параметров, характеризующих оптимизируемую систему, также может быть различным, причем параметры могут меняться непрерывно или дискретно. В последнем случае мы имеем дело с задачами дискретной оптимизации.

Обратите внимание!

Оценка эффективности функционирования в теории принятия решений в целом проводится, как правило, по двум направлениям:

• • оценка результата функционирования (операции), позволяющего определить экономический эффект, которого удалось достичь в результате нахождения оптимального управленческого решения;
• • оценка сложности алгоритма, обеспечивающего получение результата с точки зрения возможности его реализации в приемлемых временных границах.

На практике в качестве критериев оценки эффективности наиболее часто используются следующие: критерии, характеризующие экономический эффект, и критерии оперативности. Критерии, характеризующие экономический эффект, могут быть представлены в виде критериев ликвидности, финансовой устойчивости, оборачиваемости, рентабельности, прибыли, упущенной выгоды и т. д.

Критерии оперативности определяются потребностями времени, необходимого для достижения цели функционирования системы. Таким образом, вектор эффективности системы описывается критериями, характеризующими экономический эффект, и критериями оперативности в виде.

Выбор критерия эффективности является центральным и одним из самых ответственных моментов исследования в теории принятия решений.

Процесс выбора критерия является субъективным, творческим процессом.

Обратите внимание!

В научной и учебной литературе встречаются такие понятия, как критерий эффективности и критерий оптимальности. Чаще всего они воспринимаются как синонимы. Тем не менее необходимо иметь в виду следующее.

Все модели принятия решения, отражающие процессы поиска и формирования окончательного решения, делятся на нормативные, в рамках которых реализуются концепция максимизации полезности и соответствующие ей оптимизационные методы принятия решения, и дескриптивные, в рамках которых реализуются любые концепции принятия решения, позволяющие ЛПР остановить свой выбор на решении, которое будет эффективным с точки зрения того, насколько оно отвечает уровню притязаний ЛПР в отношении окончательно формируемого решения. Отсюда следует, что понятие «эффективное решение» является более широким, а оптимальное решение является лишь частным случаем эффективного решения. Соответственно критерием оптимальности формируемого решения можно считать степень его соответствия наилучшему возможному решению, а критерием эффективности формируемого решения — степень его соответствия уровню притязаний, требований ЛПР к формируемого окончательному решению.

Заметим также, что математическое выражение критерия оптимальности часто называют целевой функцией.

Таким образом, мы можем иметь числовые функции/,/₂, определенные на множестве возможных решений X. В зависимости от содержания задачи выбора эти функции называют критериями оптимальности, критериями эффективности, целевыми функциями, показателями или критериями качества^[3].

При этом формирование критерия оптимальности требует:

• • определения цели решения проблемы, связанной с исследуемой системой;
• • поиска множества управляемых и неуправляемых характеристик (параметров) системы.

Как показывает практика, большинство практических задач относится к многокритериальным, требующим от ЛПР или исследователя глубокого анализа и определенного опыта при формулировании постановок и методов их решения. В то же время возможности аналитического решения таких задач весьма ограничены. Поэтому перед исследователями всегда стояла проблема объединения критериев (свертки) таким образом, чтобы перейти от многокритериальной задачи к однокритериальной. Методы решения одномерных задач достаточно изучены. При этом алгоритмы разработаны не только на сугубо математическом уровне, но и для решения задач в различных приложениях (технических, экономических, социально-гуманитарных и др.).

Обратите внимание!

Одним из наиболее распространенных подходов к свертке критериев можно считать оценку их относительной важности, построенную с использованием коэффициентов.

Наиболее распространенными являются аддитивные и мультипликативные методы свертки критериев.

Суть аддитивного метода заключается в следующем. Целевая функция (обобщенный критерий) образуется путем сложения нормированных значений частных критериев. Частные критерии имеют, как правило, различную физическую природу и в соответствии с этим — различную размерность. Поэтому при образовании обобщенного критерия следует оперировать не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями.

Определение

Нормированным критерием называется отношение «натурального» частного критерия к некоторой нормирующей величине, измеренной в тех же единицах, что и сам критерий.

При этом выбор нормирующего делителя должен быть логически обоснован. Возможны несколько методов выбора нормирующего делителя.

Первый метод предлагает принимать в качестве нормирующего делителя директивные значения параметров, заданные заказчиком. Логически слабым местом метода является негласное предположение, что существуют или заданы оптимальные значения параметров изучаемого управленческого решения и что совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая.

Второй метод предполагает выбор в качестве нормирующих делителей максимальных значений критериев, достигаемых в области существования решений (в области компромисса). Возможно использование процедуры, при которой в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор метода формирования частных критериев безразмерного формата часто носит субъективный характер и должен обосновываться в каждом конкретном случае. Пусть при анализе совокупности управленческих решений существует т частных критериев. Тогда целевая функция задачи опгде С- — весовой коэффициент г-го частного критерия; Ff*(X) — нормирующий делитель; f_t(X) — нормированное значение /-го частного критерия.

тимизации в случае применения аддитивного критерия определяется выражением.

Целевая функция (12.3) позволяет осуществить компромисс, при котором улучшение значения одного нормированного частного критерия компенсирует ухудшение значений других.

Обратите внимание!

Введение

весовых коэффициентов должно учитывать различную значимость частных критериев при формировании аддитивного критерия.

Определение весовых коэффициентов сталкивается с серьезными трудностями и обычно сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок. С появлением обобщенного критерия исчезают логические проблемы, связанные с установлением взаимосвязей между частными критериями различной размерности и выбором наилучшего варианта, и остаются лишь вычислительные трудности. Но аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из которых состоит в том, что он не вытекает из объективной роли частных критериев в функционировании и поэтому выступает как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид.

Другой недостаток заключается в том, что в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка следует вводить ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.

Несмотря на слабые стороны, обобщенный аддитивный критерий позволяет в ряде случаев успешно решать многокритериальные задачи и получать полезные результаты.

При решении практических задач в процедурах свертки критериев довольно часто используются мультипликативные критерии. Как уже отмечалось, аддитивные критерии основаны на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев. Но иногда целесообразным является оперирование не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.

Определение

Принципом справедливой относительной компенсации называется соблюдение такого соотношения между значениями критериев, при котором суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

Условия оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеют вид где ДFj (X) — приращение величины i-ro критерия; F" (X) — первоначальная величина /-го критерия. Полагая AF_t(X) Jy (X), условие оптимальности можно представить как дифференциал натурального логарифма, тогда получаем.

Из этого выражения следует, что принцип справедливой относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщенному критерию оптимальности

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев в том случае, если все они имеют одинаковую важность. В случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты с_у, и мультипликативный критерий принимает вид.

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных критериев. К недостаткам критерия относится то, что его использование приводит к компенсации малого значения одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев^[4].

Рассмотренные подходы, кажущиеся на первый взгляд простыми и ясными, связаны с целым рядом проблем, корректно разрешить которые далеко не всегда удается. Более того, зачастую о многих из них и не вспоминают или даже вовсе не подозревают.

Обратите внимание!

Безоговорочно рекомендовать конструирование обобщенных критериев в качестве метода анализа многокритериальных задач принятия сложных и ответственных решений нельзя.

Тем не менее взвешенная сумма критериев очень часто используется при анализе прикладных многокритериальных задач принятия решений.

• [1] Трахтенгерц Э. А. Компьютерные методы реализации экономических и информационных управленческих решений: в 2 т. Т. 2. Реализация решений. М.: СИНТЕГ, 2009. 224 с.
• [2] Айзерман М. А., Вольский В. М., Литваков Б. М. Элементы теории выбора, псевдокритерии и псевдокритериальный выбор. М.: ИПУ РАН, 1994.
• [3] Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде. Количественный подход.М.: Физматлит, 2002. 176 с.
• [4] Замечание. При использовании обобщенных критериев приходится оперировать их значениями, которые обычно лишены физического, содержательного смысла. Поэтому обоснование рекомендаций по результатам анализа результатов решения задач принятия решениявесьма затруднительно.