Узкополосные сигналы. 
Радиотехнические цепи и сигналы

На практике часто имеют дело с сигналами, получаемыми при одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы) несущего колебания. Для их представления требуются новые аналитические модели и формы представления.

Аналитическое представление узкополосных сигналов

Рассмотрим особый класс сигналов с ограниченным спектром, которые возникают на выходе частотно-избирательных цепей. Считают, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенного номера все коэффициенты ряда Фурье равны нулю, т. е. на заданном отрезке времени сигнал представляется конечной суммой ряда Фурье. При этом говорят, что спектр сигнала ограничен частотой F, где F — частота синусоиды при последнем ненулевом коэффициенте ряда Фурье. Одним из таких сигналов является узкополосный сигнал (процесс).

Узкополосными называются сигналы, спектральные составляющие которых группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной (обычно несущей) частотой оо₀ полосе. Как правило, можно считать, что частота со₀ является опорной частотой сигнала.

Упрощенно узкополосный сигнал можно представить в следующей форме:

где со₍₎ — опорная частота; U (t) — изменяющаяся амплитуда, которую считают амплитудной огибающей (огибающей мгновенных значений) узкополосного колебания; |/(?) = со/ + <�р (?) — полная фаза; ср (?) — начальная фаза.

В аналитическом представлении узкополосного сигнала (2.121) информация при амплитудной модуляции закладывается в огибающую U (t), а при угловой — в колебательную составляющую cosvj/(?) = со/ + ф (?).

Если е_х(t) — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то косинусоидальное колебание u_x(t) = = e_t(?)cosco/ при достаточно большом значении опорной частоты со₀ будет обладать всеми необходимыми признаками узкополосного сигнала, поскольку его спектр окажется перенесенным и сконцентрированным в малых окрестностях точек частоты ±со₀. Узкополосным будет и синусоидальный сигнал u₂(t) = e₂(?)sin со/.

Наиболее адекватную аналитическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив следующую линейную комбинацию:

Входящие в эту формулу функции А_ы(?) и B_u(t) относятся к низкочастотным, поскольку их относительные изменения за период высокочастотных колебаний Т =2я/со₀ достаточно малы. В теории сигналов функцию A_u(t) называют синфазной амплитудой узкополосного сигнала u (t) при заданном значении опорной частоты со₀, а функцию B_u(t) — его квадратурной амплитудой.

Представление узкополосных сигналов комплексной формой. В теории связи широко применяют комплексное описание сигналов, когда гармоническое колебание можно представить либо вещественной, либо мнимой частью комплексных функций. Кроме того, в различных системах связи применяют узкополосные сигналы, спектр которых сосредоточен в окрестности некоторой частоты со₀. При анализе и первых, и вторых сигналов удобно пользоваться понятиями комплексной огибающей, огибающей амплитуд и фазовой функции сигнала.

Пусть имеется гармонический сигнал.

где U_m = — комплексная амплитуда; ф₀ — начальная фаза.

Запишем функцию (2.122) в тригонометрической форме:

Из формулы (2.123) следует, что гармоническое колебание u_{(t) = = U_mcos (co₀? + ср₀) можно рассматривать как действительную часть комплексной функции и (?).

Напомним, что условно это записывается следующим образом:

Аналогично это же колебание можно записать в виде.

В последнем выражении берется мнимая составляющая комплексной функции. Подобное представление позволяет использовать преимущества методов теории функций комплексной переменной с последующим возвратом к тригонометрической форме путем исключения мнимой части.

Введем в рассмотрение комплексную низкочастотную функцию.

и назовем ее комплексной огибающей узкополосного сигнала.

Нетрудно показать, что.

Комплексная огибающая, объединяя в себе информацию об амплитуде и фазе сигнала (за исключением несущей со₍₎, которю считают известной), является обобщением понятия комплексной амплитуды. Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту со₍₎, имеет важное значение. Применительно к узкополосному сигналу комплексная огибающая играет ту же роль, что и комплексная амплитуда по отношению к гармоническому колебанию. Однако в отличие от комплексной амплитуды гармонического колебания комплексная огибающая узкополосного сигнала зависит от времени.

Пример 2.9.

Узкополосный сигнал u (t) содержит в своем составе два фиксированных значения круговой частоты (рис. 2.58). При t < 0 он является первым гармоническим колебанием с частотой со₀= 2я/Г₀, а при t > 0 — вторым гармоническим колебанием с частотой со, = 2я/Т,; в момент t = 0 частота узкополосного сигнала изменяется скачком:

Определим комплексную огибающую этого сигнала.

Рис. 2.58. Узкополосный сигнал

Решение

Выбрав в качестве опорной частоты ш₀ и используя формулу (2.125), получим выражение для комплексной огибающей заданного сигнала: