Применение сигнальных графов к анализу цепей

Применение метода сигнальных графов при анализе цепей оказывается эффективным в тех случаях, когда требуется найти в аналитической форме ток или напряжение только одной ветви цепи или найти ее комплексные частотные характеристики.

Как отмечалось ранее, используя различные преобразования, исходный сигнальный граф можно привести к конечному. Если истоками графа являются узлы, сигналы которых Xj — комплексные изображения величин, характеризующих внешние воздействия на зажимах i — i а стоками — узлы, сигналы которых Sj представляют собой комплексные изображения искомых токов или напряжении ветвей, подключенных к зажимам j —j то, используя конечный граф, можно записать соотношения, в явной форме выражающие зависимость искомых неизвестных токов и напряжений от величин, характеризующих внешние воздействия. Передача ветви Ар конечного графа, связывающей исток Х" со стоком Sj, представляет собой комплексную частотную характеристику цепи Hjj (ju>), измеренную в режиме, когда все источники внешнего воздействия, за исключением А,-, выключены.

Трудоемкость преобразования сигнального графа к конечному во многом определяется выбором исходной системы уравнений электрического равновесия и гем, каким образом осуществлен переход от исходной системы уравнений к сигнальному графу. Для уменьшения числа узлов сигнального графа в качестве исходной системы уравнений рекомендуется применять систему уравнений электрического равновесия цепи, составленную по методу узловых напряжений или контурных токов, дополнив ее уравнениями, связывающими искомые токи и напряжения с контурными токами или узловыми напряжениями.

Пример 4.21. Определим ток /₆ цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а, преобразуя сигнальный граф этой цепи (см. рис. 4.25) в конечный.

Граф, показанный на рис. 4.25, соответствует контурным уравнениям рассматриваемой цени, дополненным уравнением, выражающим связь искомого тока с контурными токами /ц, I22 ^и /зз ⁼ J (см. пример 4.19). Преобразование этого графа в конечный было проведено в примере 4.20. Непосредственно по виду конечного графа записываем выражение для искомого тока.

которое совпадает с выражениями для этого тока, полученными с использованием метода наложения (см. пример 4.10) и теоремы об эквивалентном источнике (см. пример 4−15).

Передача ветви, связывающей исток J и сток J& равна комплексному коэффициенту передачи цепи по току GesO’co) от зажимов 5 — 5' к зажимам 6 — 6' (номера зажимов совпадают с номерами ветвей) в режиме, когда источник Е закорочен:

Передача ветви, направленной от истока Е к стоку /₆, равна передаточной проводимости цепи Ye (j (o) в режиме, когда ветвь с источником тока J разомкнута:

Следует отметить, что сведение исходного сигнального графа к конечному, особенно для сложных цепей, может оказаться трудоемким. Кроме того, если необходимо определить несколько неизвестных величин, эту процедуру приходится выполнять несколько раз. Поэтому в таких случаях для нахождения комплексных частотных характеристик цепи и неизвестных токов и напряжений целесообразно воспользоваться формулой Мейсона [9|, которая позволяет вычислять передачи ветвей конечного графа A-_}i = Hjjijco) непосредственно по исходному сигнальному графу, не прибегая к его преобразованиям.

Формула Мейсона имеет вид.

где, А — определитель сигнального графа, численно равный определителю исходной системы уравнений; — передача k-то пути от истока X, к стоку Sj; Ад — алгебраическое дополнение k-ro пути. Суммирование производится по всем возможным путям из узла X, к узлу Sj.

Определитель сигнального графа.

где YjLi — сумма передач всех контуров сигнального графа;

YjLiLj — сумма произведений передач всех возможных пар

i, j

несоприкасающихся контуров; X LiLjL_m — сумма произведе;

i, j, т

ний передач всех несоприкасающихся троек контуров и т. д.

Алгебраическое дополнение k-то пути также вычисляется, но формуле (4.42), но при этом учитываются только контуры, не касающиеся пути Pfj^k

Пример 4.22. Используя формулу Мейсона, определим передаточную проводимость Yw (j (o) цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Сигнальный граф этой цепи изображен на рис. 4.25 (см. пример 4.19). Данный граф содержит единственный контур, передача которого L =(Z₂ + Z3XZ3 + Z4 + Z₆)/Z|.

Согласно выражению (4.42) определитель сигнального графа.

Между узлами Ё и /_б существует единственный путь, проходящий по ветвям с передачами -1/Z₃ и -1. Передача этого пути Pg, = 1/Z₃. Единственный контур сигнального графа имеет общую вершину I22 с данным путем, поэтому Д] = 1.

Подставляя полученные значения Pgj Д и Д, в формулу Мейсона, найдем.

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с выражениями для Уф (/со), полученными другими методами (см. примеры 4.10, 4.21).

Пример 4.23. Используя формулу Мейсона, определим комплексный коэффициент передачи по току 6'_ВГ)()(о) цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Сигнальный граф рассматриваемой цепи изображен на рис. 4.25. Выражение для определителя Д этого графа было получено в примере 4.22.

Между узлами J и /₆ существуют два пути с передачами P^⁾=l;Pg⁾ = Z_e(Z₂+Z₃)/Z₃².

Алгебраическое дополнение первого пути.

Алгебраическое дополнение второго пути равно единице. По формуле Мейсона,.

Нетрудно убедиться, что данное выражение совпадает с выражениями для Gg5(yco), найденными другими методами (см. примеры 4.10 и 4.21).

Вопросы для самопроверки

• 1. Можно ли по виду графа определить, является ли он сигнальным или топологическим?
• 2. Что в теории сигнальных графов называется сигналом?
• 3. Какую размерность имеют узлы сигнального графа?
• 4. Как называется весовой коэффициент, присваиваемый каждой ветви сигнального графа?

• 5. Относятся ли сток и исток сигнального графа к смешанным узлам?
• 6. В чем состоит разница в определении пути сигнального и топологического графов?
• 7. Что называется передачей пути сигнального графа?
• 8. Могут ли две ветви сигнального графа, включенные между двумя одними и теми же узлами, нс образовывать контура?
• 9. Какие ветви сигнальных графов называют параллельными?
• 10. Какие два контура (или контур и путь) сигнального графа называются соприкасающимися?
• 11. Какие сигнальные графы называются равносильными?
• 12. Для чего используются преобразования сигнальных графов?