Вычисление разности потенциалов для заданного поля

/ и вычислить интеграл J Ё • d/, направление на кри-

Рис. 7.2 ^в°й — от А к В. Как выбирать кривую? Результат от выбора не зависит, но сложность вычислений зависит. Если силовые линии поля известны (см. п. 7.1.5) и известно значение Е во всех точках силовой линии, путь / можно выбрать вдоль силовой линии от точки А до точки С такой, что путь от С к В можно провести ортогонально к силовым линиям. Тогда

так как на 1_СВ Ё • d/ = О (Ё 1 d/), а на 1_АС Ё d/ = Е d/cosa = Е d/.

Рис. 7.3.

Если заданы компоненты вектора Ё в декартовых координатах, путь от А к В можно составить из отрезков, параллельных координатным осям (рис. 7.3). Тогда

Задача 7.1. Пусть вектор Е лежит в плоскости хОу (E_z = 0), направлен вдоль радиуса и на расстоянии гот начала координат равен.

Е{г) = ~, a = const. Найти разность потенциа- г

Рис. 7.4 204.

лов между точками с координатами (*, у_х) и

(*2> у₂) —

Решение. Путь из А в В (рис. 7.4) составим из двух участков: АС — вдоль луча, проходящего через А, и дуги СВ, проходящей через В. Радиус этой дуги, очевидно, г₂ = + у], точка А

находится на расстоянии г, = ^х] + у].

Рис. 7.5.

Задача 7.2. Пусть поле Е задано формулой Ё =? ^ах i + ^ау j. Найти разность х + у х + у

потенциалов между точками (де, у,) и (х₂, у_г).

Решение. Выбираем путь, как показано на рис. 7.5.

Имеем: J?• d7 = f? d/ +Ё Л1.

ЛВ АС СВ

На ветви АС

Аналогично, на ветви СВ dl = j dy и Ё ? d/ = ~-^у~. Таким об;

х; + у

разом, для интеграла получаем.

Задача 7.3. Имеем однородное поле в слое между двумя параллельными плоскостями, вне слоя поле равно нулю (рис. 7.6). Найти потенциал во всем пространстве.

Решение. При соответствующем выборе осей поле задается условиями.

В области, где Е = 0, потенциал постоянен (не обязательно нуль!), поэтому при х < 0 и х > L потенциал постоянен. Положим <�р (х, у, z) = Ф₀ при х < 0. На любой плоскости х = х, = const потенциал постоянен (докажите это), поэтому ф (х, у, z) = ф (х) (не зависит от у и z) и достаточно найти потенциал на оси х.

Рис. 7.6.

Для точки х из области 0 < х < L имеем:

и ф (х) = ф (0) — Ех = ф₀ — Ех. Это решение верно вплоть до х = L и ф (?) = Ф₀ — EL.

При х > L потенциал постоянен и равен ф (1), так что окончательно имеем <�р (х, У, Z) = ф₀ при X < 0, <�р (х, у, z) = ((>₀ — Ех при 0 < х < L и ф (х, у, z) = Ф₀ — EL при х > L (рис. 7.7).

Таким образом, все решение привязано к ф₀. Чему равно ф₀? Устанавливает- ^Рис- ^7,7

ся произвольно. Положим ф₀ = 0. Но тогда

во всей области х > L (вплоть до бесконечности) потенциал определяется однозначно и окажется, например, 97 В (в зависимости от Ё и L). Как это понимать? А никак. Рассматриваемое поле физически не реализуемо (бесконечный слой, бесконечно большая энергия). Это чисто математическая модель. А если ограничить этот слой? Рассмотрим поле, изображенное на рис. 7.8. Действуя, как в предыдущем случае, найдем, что

Рис. 7.8 Рис. 7.9

Но если мы выберем путь / в обход поля, то получим = 0.

Парадокс. Но в природе нет парадоксов. Это значит, что такого поля не может быть. Но разве это не поле плоского конденсатора? Нет, поле плоского конденсатора не такое, а такое, как изображено на рис. 7.9. Если точки А и В близки к пластинам, тогда Ф^ — ф_а = Ф" = EL, но если они удаляются в бесконечность, то Ф_и — Ф₄ —" 0. На этом примере видно, как моделируется реальная ситуация. Поле плоского конденсатора представляется двумя математическими моделями, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками.