Определение 14. Если на некотором промежутке X определена функция z — Ф (х) с множеством значений Z и на множестве Zопределена функция y-f (z), то функция >'=/|ф (х)| называется сложной функцией отх (или суперпозицией функций), а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.
Примеры сложных функций:
- 1) у = со$у] -х — сложная функция, определенная на полубссконсчном интервале (-, I], так как у-/(*)=cosz, z = 4>(x) = J-x
- 2) у = е~х — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у = f (z) = ezt z = Ц> (х) = -х2;
- (+ х V/2
- 3) у- —— — сложная функция, определенная на полубссконечных
^ х.
интервалах (-«>, 0) и (0, +">), так как у = / (О = z3/2, Z = Ф (х) = (1 + х)/х.
Теорема 8.16. Пусть функция z = Ф (х) непрерывна в точке х0, а функция У — f (Z) непрерывна в точке Zq = ф (х0). Тогда сложная функция у = / (ф (х)| непрерывна в точке х0.
Доказатыьство. Возьмем изА’любую последовательность {хн} точек, сходящуюся к точке х0. Так как функция z = Ф (х) непрерывна в точке х0, соотвстствуюшая последовательность точек {7} сходится к точке Сп или lim zn — lim ф (х")=.
«„>•>“ И -» оо.
= ф (х0) =n. Поскольку функция f (z) непрерывна в точке 2q, имеем lim /|ф (хи) =.
=/[ф (х0)|. Слсдов<1телы1о, предел функции /[ф (х)1 равен се значению в этой точке, что и доказывает теорему. ?
Например, функция у = tg (х2 + 2х) непрерывна в точке х = 0, так как функция z = х2 + х непрерывна в точке х = 0, а функция у = tg z непрерывна в точке z = 0.
