Уравнение бегущей волны. 
Волновое уравнение

Уравнением волны называют выражение, определяющее зависимость смещения частиц среды из положения равновесия от координат и времени ?(r, f), где г — радиус-вектор равновесного положения частицы.

Получим эту функцию вначале для плоской волны, распространяющейся вдоль оси .v. 11усть источник колебаний находится в плоскости х = 0, а смещения частиц среды, непосредственно примыкающих к источнику, задаются обычным гармоническим законом.

Здесь А — модуль вектора амплитудного смещения, а частоту колебаний со определяет источник. Плоскости л" колебания достигнут спустя время х = x/v (рис. 6.32).

Рис. 6.32.

Амплитуда колебаний в плоской волне не меняется, как будет видно из дальнейшего. Поэтому смещения частиц в плоскости х

где к = (й/v — 2л Д — волновое число.

Легко убедиться, что приведенное выше уравнение волны ?(*,/) является решением волнового уравнения

Это уравнение относится к гиперболическому типу уравнений математической физики (раздел 1.4.7) и играет чрезвычайно важную роль в теории поля. Формально волновое уравнение можно получить, подобно уравнению колебаний, двумя путями: через закон сохранения энергии (п. 6.1.2) и из второго закона Ньютона для деформированного объема (п. 6.1.3).

Пусть теперь плоская волна распространяется не по оси *, а в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором Я. Вектор И = кп называют волновым вектором. Уравнение волны для этого случая легко получить из предыдущего, поворачивая координатные оси.

где скалярное произведение.

причем а, р, у — углы, образуемые вектором Я с координатными осями. В этом случае ?(г,/) — решение более общего варианта волнового уравнения

где

оператор Лапласа, описанный в разделе 1.4.5. Там же показано, что решением упомянутого уравнения является произвольная дважды дифференцируемая функция.

Ее конкретный вид определяют источник и граничные условия. Для гармонических волн, которые только и рассматриваются в дальнейшем. / — гармонические функции.

Интенсивность упругой волны. Вектор Умова.

Важнейшей характеристикой бегущей волны является ее интенсивность j (или плотность потока энергии), т. е. средний поток механической энергии, переносимый волной за единицу времени через единичную площадку нормальную лучам (см. рисунок).

где dW — полная механическая энергия, прошедшая через площадь JS за время dt.

Так как за это время через рассматриваемую площадку волна перенесет энергию из объема v dt • dS, то.

где w — плотность энергии (энергия на единицу объема среды, захваченной волной). Таким образом, интенсивность волны равна.

Плотность энергии волны можно связать с ее частотой и амплитудой колебаний частиц среды. Полная энергия одной колеблющейся частицы W определяется формулой раздела 6.1.4.

где т — масса частицы, А — амплитуда ее колебаний, со — частота волны. Если умножить эту величину на концентрацию частиц и, получим как раз энергию единицы объема, т. е. плотность энергии волны w

т.к. плотность среды равна массе всех частиц в единице объема.

Следовательно, интенсивность упругой волны пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты колебаний частиц среды в волне.

Вектор плотности потока энергии упругой волны.

называют вектором Умова. Его направление совпадает с направлением касательной к лучу в данной точке, а средний за период модуль совпадает с интенсивностью волны j.