Модели решения экономических задач

Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных, линия тренда. Вывод аналитической модели функции, но ее табличной модели.

Интерполяция и аппроксимация, эмпирические функции. Если существует функциональная зависимость в табличной форме, то ее можно представить в виде аналитической функции. Подобранная приближенно эмпирическая функция, которая проходит через все таблично заданные точки, с достаточной точностью отображает поведение исходной функции. Аналитическая функция, подобранная таким образом, позволяет определять значения этой функции в точках (в рамках данного диапазона), где она не определена таблично. Этот процесс называется интерполяцией.

Построение приближенной функции, проходящей через все заданные точки и максимально близко к заданной непрерывной функции, называется аппроксимацией. Подбор эмпирической функции осуществляется выбором из всех функций на основе вычисленных параметров, входящих в эти функции, наиболее близко описывающих функциональную зависимость между изучаемыми величинами.

Характер экспериментальных данных влияет на выбор эмпирических функций, которые могут быть следующими:

• — линейная (у — ах + b) — используется, когда экспериментальные данные изменяются относительно постоянно;
• — полиноминалъная (у = а₀ + а_хх + а₂х² + … + a_tlx") — экспериментальные данные попеременно возрастают и убывают;
• — логарифмическая (у -а ? 1п (х) + Ь) — экспериментальные данные первоначально стремительно возрастают или убывают, впоследствии постепенно стабилизируются;
• — степенная (у = Ьх") — скорость изменения экспериментальных данных постоянно увеличивается или уменьшается;
• — экспоненциальная {у = Ье^ах) — применяется для описания экспериментальных данных, скорость возрастания или убывания которых непрерывно растет.

Вывод аналитической функции по ее табличным данным. В MS Excel 2013 для определения интерполирующей формулы надо выполнить следующие действия.

• 1. На основе имеющихся экспериментальных данных построить график зависимости функции от аргумента.
• 2. Вывести контекстное меню для линии графика.
• 3. Из списка команд контекстного меню выбрать команду Добавить линию тренда.
• 4. В диалоговом окне Формат линии тренда на вкладке ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА определить характер изменения функции на графике и выбрать вид аппроксимирующей функции. Далее установить флажки в полях Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (/?^л2).

Величина /?^Л2 характеризует точность описания аппроксимирующей функцией экспериментальных данных, т. е. чем больше, тем точнее, и наоборот.

В результате вывода аналитической функции на диаграмме появится линия тренда (графическое отображение интерполирующей функции) и ее аналитический вид, со значением /?^Л2 (величина достоверности аппроксимации).

Описанный процесс подбора интерполяционной функции рассмотрим на примере.

Пример 6.6.

Сумма налоговых выплат по 2НДФЛ за период с 2009 по 2014 г. представлены на рис. 6.21. Необходимо подобрать интерполяционную функцию и выяснить характер изменения величин налоговых выплат.

Рис. 6.21. Величины налоговых выплат

Решение

• 1. В соответствии с рис. 6.21 постройте график.
• 2. Отобразите диалоговое окно Формат линии тренда с помощью контекстного меню линии графика.
• 3. По характеру изменения экспериментальных данных, в параметрах линии тренда выберите значение Полиноминалъная со степенью 4, установите флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (Л^Л2).

На диаграмме после нажатия кнопки Закрыть появятся линия тренда, аналитическая функция и величина достоверности аппроксимации — К^л2 (рис. 6.22).

• 2. Создайте область значений аргументов от -3 до 3 с шагом 0,3.
• 3. Вычислите диапазон значения функции у для каждой из этих точек.
• 4. Выделите вместе область заголовков, область аргументов и их значений, на ленте инструментов выберите вкладку ВСТАВКА.
• 5. В группе команд Диаграммы выберите тип График и постройте график (рис. 6.23).

Рис. 6.23. Графическая модель функции у = 2л² + х — 1.

Вычисление предела функции. Для нахождения предела функции в точке необходимо выполнить последовательность соответствующих действий, которую мы разберем на следующем примере.

Поимео 6.8

Решение

• 1. В разных строках для одного столбца введите значения, достаточно близкие к точке 2 (слева — 1,999 999 999 999 и справа — 2,1) (рис. 6.24).
• 2. Вычислите значения функции в этих точках.
• 3. Найдите разность полученных значений.

Рис. 6.24. Нахождение предела функции Значения функции в окрестностях точки 2 равны (подтверждается их разностью) — это означает, что предел функции в точке 2 существует и равен 1,7.

Вычисление корней функции одной переменной. Корнем аналитически заданной функции у = /(.г) называется точка, в которой функция принимает значение нуль. Разберем технологию нахождения корней функции на следующем примере.

Пример 6.9.

Найдите корни функции у = х — х — 1 на отрезке [-1; 2] (интервал между точками 0,2).

Решение

Функция представляет собой полиномом второй степени и имеет не более двух корней. Создав область аргументов и значений функции в этих точках, необходимо определить интервалы аргументов, для которых значения функции имеют противоположный знак, т. е. пересекает ось абсцисс. Из созданной области видно, что на отрезке [-1; 2] данная функция два раза пересекает ось абсцисс. Скопируем в отдельную область значения (пары, аргумент и значение функции) — (-0,8; 0, 44) и (1,6; -0,04). Для вычисления корней функции необходимо запустить инструмент Подбор параметра, затем настроить относительную погрешность вычислений (0,1). Далее, поочередно для каждой пары выполните следующие действия.

• 1. В поле Установить в ячейке укажите адрес ячейки, где находится значение функции (рис. 6.25).
• 2. В поле Значение впишите число 0.
• 3. В иоле Изменяя значение ячейки укажите ссылку па ячейку, в которой находится значение аргумента (ответ: Х = -0,62; х₂ = 1,62).

Рис. 6.25. Применение инструмента Подбор параметра для нахождения корней функции.