Уравнение сохранения энергии

Закон сохранения энергии для выделенного материального объема связывает скорость изменения полной энергии рассматриваемого тела ? с теми причинами, которые вызывают это изменение, — работой массовых (внешних) А/ и поверхностных сил А_р, а также с немеханической энергией Q, доставляемой в рассматриваемый объем в единицу времени, — притоком тепла через поверхность и возможным внутренним тепловыделением. Математическая запись этого закона имеет вид.

U:

Будем полагать, что полная энергия материального объема представляется суммой кинетической энергии /С и внутренней энергии.

где U внутренняя энергия единицы массы вещества, находящегося в рассматриваемом объеме.

Работа, совершаемая в единицу времени поверхностными и объемными силами, может быть записана в виде.

Исмеханичсская энергия может быть выражена через вектор плотности теплового потока q и интенсивность объемного тепловыделения w:

Отметим, что при записи этого выражения принято во внимание, что положительное значение проекции вектора теплого потока на внешнюю нормаль к поверхности приводит к потере тепла системой. Кроме того, поверхностный интеграл в окончательном выражении преобразован в объемный на основании теоремы о дивергенции.

Полученные представления членов, входящих в интегральную формулировку закона сохранения энергии, позволяют выписать его в покомпонентной форме:

Интегральная форма закона сохранения энергии может быть использована для получения его дифференциального аналога. Для этого следует перейти от поверхностных интегралов к объемным и из условия произвольности выбора материального объема получить дифференциальное уравнение закона сохранения энергии. Однако и в том и в другом случае полученные соотношения будут характеризовать изменение полной энергии системы, имеющей как механическую (кинетическая энергия), так и немеханическую природ}'.

Присутствующая в балансовых энергетических соотношениях возможность перехода механической энергии в теплоту существенно отличает задачу механики сплошной среды от задач динамики недеформируемого твердого тела. Для абсолютно твердого тела уравнения движения полностью разрешают задачу его динамики и кинетическая энергия определяется через параметры движения. В тех случаях, когда при движении твердого тела контролируются энергетические законы сохранения, они следуют из уравнений движения и определяются как их первые интегралы. Задачи же механики сплошной среды требуют привлечения, в дополнение к уравнению движения, уравнения энергии, связывающего изменение полной энергии системы с потоками тепла и его производством.

Во многих случаях энергетические соотношения становятся более наглядными с физической точки зрения, если из баланса полной энергии будет выделена ее часть, представляющая кинетическую энергию системы. Эта операция может быть выполнена формально вычитанием из уравнения баланса полной энергии уравнения движения, предварительно скалярно умноженного на вектор скорости точки материальной среды, — так называемой теоремы живых сил.

Такая операция обычно выполняется с дифференциальной формой уравнений движения и энергии. Мы приведем ниже другой способ выделения из уравнения энергии ее механической составляющей, основанный на работе с интегральным его представлением. Для этого проведем следующие преобразования.

Еще раз обратим внимание на представление производной, но времени в интегральном соотношении (5.5). Если мы используем лагранжево координатное описание, то координаты материальных частиц рассматриваемого объема будут оставаться неизменными в процессе движения среды. Это позволяет внести производную по времени под знак интеграла. Для задач механики деформируемого твердого тела можно в этом интеграле считать плотность среды в данной материальной точке постоянной и использовать следующее представление скорости изменения кинетической энергии:

ДачПее проведем преобразование поверхностного интеграла, входящего в левую часть интегрального закона (5.5):

Здесь использована теорема о дивергенции для преобразования поверхностного интеграла в объемный, а для последнего преобразования — правило дифференцирования произведения, которое выписано с использованием индексных обозначений. Следует обратить внимание, что здесь в подынтегральном выражении имеет место свертка по обоим индексам и полученное выражение представляет собой скаляр инвариант по отношению к выбору системы координат.

Дальнейшая подстановка выражений (5.6) и (5.7) в (5.5) и выполнение очевидной группировки членов позволяет записать закон сохранения энергии в виде.

В нервом интеграле в виде сомножителя выделяется группа членов, представляющая уравнение движения материальной среды. В силу этого данный интеграл обращается в ноль. Тогда, применяя ко второму интегралу положение о произвольности объема интегрирования, получаем дифференциальную форму закона сохранения энергии одну из форм записи первого закона термодинамики:

Для этого выражения можно выполнить дополнительные преобразования, которые дадут эффект в случае, когда тензор напряжений симметричен.

Выполним операцию симметрирования и альтернирования тензора производной от вектора скорости, но радиусу-вектору v^j :

Здесь ?jj — симметрический тензор скоростей деформации, a Uij — антисимметрический, для которого сопутствующим вектором является вектор вихря скорости.

Свертка тензора напряжений с тензором Vjj теперь представится в виде.

Упрощение связано с тем обстоятельством, что свертка симметрического и антисимметрического тензоров дает нулевой скаляр: (JijWij = = 0. Это позволяет записать уравнение энергии в следующем виде, который будет нами использоваться в дальнейшем:

Здесь первый член правой части определяет ту долю работы напряжений, которая необратимым образом переходит в тепло. Изменение внутренней энергии происходит также за счет тепловыделения, обусловленного причинами, внешними по отношению к системе и приток}' тепла извне.

В термодинамике вводится понятие об энтропии — функции состояния термодинамической системы. Приток тепла в систему связан с изменением энтропии соотношением.

Здесь через d’Q обозначено малое количество тепла, поступившее в систему. Штрих у символа дифференциала означает, что данное количество не является полным дифференциалом и Q не будет функцией состояния системы. Можно считать величину, обратную абсолютной температуре 1/Т, интегрирующим множителем, превращающим приращение тепла в полный дифференциал функции состояния системы — энтропии. В рассматриваемом случае скорость притока тепла в систему определяется тепловым потоком и объемным.

dQ'

тепловыделением: —— ==ги. Подставляя эго соотношение в.

dt

(5.10), получим локальную формулировку второго закона термодинамики:

Это соотношение может быть записано в виде.

где ps^e — скорость изменения энтропии в единичном объеме, вызванная обменом теплом с окружающей средой и тепловыделением, определяемым внешними причинами, а рк^г — скорость изменения энтропии, вызванная внутренними процессами.

Постулат термодинамики необратимых процессов требует, чтобы для любого элементарного объема выполнялись неравенства s > 0, > 0. Это означает, что полная энтропия системы и та ее часть, которая связана с внутренними причинами тепловыделения s^^l являются неубывающими функциями. В то же время та часть изменения энтропии, которая обусловлена внешними по отношению к рассматриваемой системе причинами, может иметь произвольный характер изменения: ^ 0.