Модель Кейгана с рациональными ожиданиями

Выполняется предположение Кейгана: реальный спрос на деньги убывает по экспоненте с ростом ожидаемого темпа инфляции. Рынок денег может находиться в неравновесном состоянии.

Рациональные инфляционные ожидания — ожидаемый и фактический темпы инфляции совпадают.

Из предположения Кейгана и предположения о рациональных ожиданиях следует:

где М° — спрос на деньги; л — фактический темп инфляции.

Логдефлятор^[1] (р) — измеритель уровня цен, равный натуральному логарифму дефлятора ВВП: р = (1пР).

Основное свойство логдефлятора — производная логдефлятора по времени равна темпу инфляции (р = л). С учетом основного свойства логдефлятора равенство (8.18) принимает вид.

где у > 0 — чувствительность темпа инфляции к отношению предложения и спроса на рынке денег.

Обоснуем предположение:

• • если М > М°, то из-за избытка денег инфляция растет и обе части равенства (8.20) положительны:
• • если М < М°_у то из-за дефицита денег инфляция уменьшается и обе части равенства (8.20) отрицательны;
• • если М = М°, то предложение равно спросу, рынок денег находится в равновесии, инфляция неизменна и обе части равенства (8.20) равны нулю.

Прологарифмируем правую часть равенства (8.20), подставим в него выражение M^D из равенства (8.19) и в соответствии с основным свойством логдефлятора заменим производную темпа инфляции на вторую производную логдефлятора. Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно логдефлятора:

Предположим, что прирост темпа инфляции пропорционален логарифму отношения предложения денег (М) и спроса на деньги:

Условие цикличности логдефлятора и темпа инфляции — это отрицательное значение дискриминанта характеристического уравнения:

Отсюда следует, что инфляция циклична, если числа, а и у меньше единицы, но она может быть цикличной и в случае, когда одно из них больше единицы, а второе меньше единицы.

Траектория динамики инфляции — кривая в плоскости «логдефлятор — темп инфляции», состоящая из точек (/?, ти), удовлетворяющих уравнению динамики, т. е. она изображает движение во времени точки где.

p (t) — решение дифференциального уравнения (8.21).

Свойства траектории динамики:

• • поскольку логдефлятор и темп инфляции могут принимать разные знаки, точки траектории могут располагаться в любом квадранте координатной плоскости. Точки, расположенные над осью абсцисс, соответствуют инфляции, а ниже оси абсцисс — дефляции;
• • обычно координаты точки траектории положительны, в этом случае их одновременное увеличение означает переход экономики в состояние с большим уровнем цен и большим темпом инфляции, а их одновременное снижение — переход в состояние с меньшим уровнем цен и меньшим темпом инфляции;
• • если дискриминант характеристического уравнения отрицателен, то кривая имеет форму спирали;
• • характер циклической динамики определяет параметр у. Если он больше единицы, то колебания расходящиеся, и «спираль инфляции раскручивается». Если он меньше единицы, то колебания сходящиеся, и точка движется по спирали к устойчивому состоянию (InМ, 0). Если он равен единице, то траектории имеют замкнутую форму, и динамика имеет маятниковый характер;
• • изменение объема предложения денег (М) вызывает сдвиг траектории динамики вдоль оси абсцисс.

Кривая стационарной инфляции — множество точек траектории динамики, в которых темп инфляции равен нулю, т. е. инфляция временно останавливается, «замирает». Формулу кривой получим из уравнения (8.21) заменой на ноль второй производной логдефлятора, равной темпу изменения темпа инфляции:

Итак, кривая стационарной инфляции — это прямая, которая проходит через точку (InМ, 0), а ее наклон определяется параметром Кейгана (а) и не зависит от параметра у.

Пример Определим длину периода цикла, если а = 0_t8; у = 0,6.

Оба параметра меньше единицы, поэтому колебания инфляции сходящиеся. Из теории дифференциальных уравнений следует:

Посредством регулирования объема денежной массы можно получить эллиптические траектории динамики. Пусть монетарная политика центрального банка реализуется согласно формуле InМ = -ая, т. е. логарифм денежной массы противоположен по знаку темпу инфляции, а его модуль пропорционален модулю темпа инфляции с коэффициентом пропорциональности а. Тогда из (8.21) получаем дифференциальное уравнение Траектории динамики имеют форму эллипсов с центром в начале координат, причем амплитуда колебаний определяется начальными значениями темпа инфляции и уровня цен (логарифма дефлятора). Стационарное состояние устойчиво и отвечает случаю неизменной нулевой инфляции при уровне цен базисного года, а кривая стационарного темпа инфляции совпадает с осью ординат.

• [1] Одни авторы используют составной термин «логарифмическая величина дефлятора"(например, см.: Уолш К. Монетарная теория и монетарная политика. М.: Дело, 2014. С. 171), другие предпочитают сокращения, например «логлииеаризация модели» (см.: Ромер Д. Высшая макроэкономика. С. 255).