Случай лагранжа движения симметричного твердого тела

В случае Лагранжа два главных момента инерции тела относительно неподвижной точки совпадают А = В * С, а центр масс тела находится на оси его динамической симметрии: р_с=/е_г, где е, — орт оси Oz.

Для составления уравнений движения воспользуемся методом Лагранжа. Уравнения Лагранжа второго рода для описания движения твердого тела можно получить из вариационного принципа Д’Аламбера—Лагранжа (1.11), если выбрать на шестимерном конфигурационном многообразии твердого тела локальные координаты. Для этого достаточно, например, задать радиус-вектор полюса т_Р как функцию криволинейных координат (q_t, q₂, q_}) и выразить компоненты ортогонального оператора Г через углы Эйлера в формуле (1.1). Выполняя преобразования, аналогичные проделанным в § 4.9 с заменой суммирования на интеграл по мере, получим уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движение свободного твердого тела.

В случае твердого тела с одной неподвижной точкой остаются три степени свободы и функция Лагранжа равна.

Здесь т — масса тела, g — ускорение силы тяжести, — орт вертикальной оси 0^₃. Согласно кинематическим уравнениям Эйлера (3.6) получим

поскольку скалярное произведение e?₃ = cos 0. Лагранжиан (6.1) не зависит от циклических обобщенных координат ф, у и времени. Это обстоятельство позволяет получить три первых интеграла:

Два циклических интеграла означают постоянство проекций вектора момента количеств движения на ось симметрии тела Oz и вертикаль 0?,₃ соответственно, а последний интеграл выражает закон сохранения энергии. Исключая с помощью двух циклических интегралов ф и ф из интеграла энергии, представим его в виде.

Введем обозначения.

и запишем интеграл энергии в форме.

Поскольку/(±1) = -(аТ6)²<0, то функциями) на отрезке [-1, 1] имеет два действительных корня, иначе уравнение (6.3) не будет иметь действительных решений при а * Ь. График функции /{и) является кубической параболой с положительным коэффициен;

Рис. 37.

том р при и³ (рис. 37, а). Обозначим корни функции Д и) через и, и₂, м₃ и представим ее в виде Дм) = р (м — М|)(и — и₂){и — м₃), и,^и₂< и₃. На фазовой плоскости (и, и) в области |м|$ 1 уравнение (6.3) определяет замкнутую кривую, симметричную относительно оси абсцисс (рис. 37, б). Решение уравнения (6.3) представляется периодической функцией, которая выражается через эллиптические функции Якоби. Период движения определяется интегралом.

Если и, < и₂ < м₃ (случай общего положения), то сделаем замену переменных.

отображающую периодическое движение по кривой S на фазовой плоскости на окружность. Отсюда следует, что.

Замена переменных (6.4) справедлива в области |м, и₂] и эквивалентна введению угловой координаты при периодическом изменении переменной и вдоль контура S (рис. 37, в).

Разделяя переменные в уравнении (6.3) с учетом замены переменных (6.4), получим.

Тогда sin х = sn (l/2_>/p (M₃ -u_t)(t —1₀), к), где sn (x_; к) — эллиптическая функция Якоби, рассмотренная в § 5.4. Период изменения угла 9 согласно формулам (6.4) выражается через полный эллиптический интеграл первого рода в виде.

Из первых двух соотношений (6.2) определим угловую скорость прецесии.

и скорость собственного вращения.

Функции ф, ф периодичны по времени. Однако приращения углов ф и ф за период могут оказаться несоизмеримыми с 2л, и в целом движение окажется почти-периодическим.

Исследуем движение точки Р — конца единичного вектора е_г, направленного по оси динамической симметрии тела. Точка Р описывает на единичной сфере кривую L, заключенную между двумя параллелями cos 0, = м, и cos 0₂ = = м₂ (рис. 38). Скорость точки Я составляет с меридианом, проходящим через нее, угол 6 и.

поскольку (cos0) = ±yjf (u). При м = и, и и = и₂ функциями) обращается в нуль, a tg5 принимает предельные значения ±оо. Отсюда следует, что кривая L касается параллелей, соответствующих углам 0, и 0₂. Числитель отношения (6.7) обращается в нуль при и. = а (г*. Пусть и. находится вне интервала [и, и₂).

Рис. 38 и. находится вне интервала [ы₍, и₂).

Рис. 39.

Тогда ч/ при движении не меняет знак и кривая L имеет вид, указанный на рис. 39, а.

Если и. е (м, м₂|, то скорость прецессии у меняет знак и кривая L образует петли (рис. 39, б).

Если величина |м.| < 1, то и. > и,. Допуская противное (м. < и,), будем иметь Дм.) = (а — рм.) (1 — и.²) < 0, но тогда при и > и. функция Дм) не может иметь корней на отрезке (-1, 1|, так как на этом отрезке оба ее слагаемых отрицательны: (а — р") (1 — и²) < 0 и -(а — Ьи)² < 0.

Величина и. может совпасть с корнем и₂ и по правилу Лопиталя.

Следовательно, на верхней параллели имеются точки возврата кривой L (рис. 39, в). Этот тип движения будет приближенно исследован в § 5.8.