Уравнения с запаздыванием и задача интерполяции. 
Сплайны. 0-сплайны

В предыдущем параграфе речь шла о свойствах непрерывных методов Рунге — Кутты. Фактически они основаны на интерполяции (восстановлении значений табличной функции) между узлами сетки. При описании простейших вложенных методов мы ограничились случаем кусочнокубической интерполяции. Порядок интерполяции можно повысить, если У-1.

в методе коэффициенты удовлетворяют условию Кутты с = Y*^an- Тогда.

/=1.

мы знаем значения производной в точках с т и можем построить разделенные разности более высоких порядков, после чего выписать интерполяционный полином Ньютона. Приведет ли это к улучшению получаемых численных результатов?

О задаче алгебраической интерполяции (интерполяции полиномами) подробно написано во многих учебниках по вычислительной математике¹. Мы остановимся на частных случаях кусочно-полиномиальной интерполяции, называемой сплайн-интерполяцией. Первоначально, в инженерном смысле, сплайном принято было называть гладкую интерполяцию, удовлетворяющую экстремальному свойству.

откуда сразу следует, что интерполяция должна быть кусочно-кубической функцией^[1]. Кроме того, Р (х) должна быть непрерывна на интервале [а; Ь] и иметь две непрерывные производные.

Различают несколько форм записи сплайнов^[2], понимаемых в таком смысле.

Глобальный сплайн (Шонберга). Рассмотрим, вообще говоря, неравномерную сетку: t_n — t_n_₁ = h_n__v t_n+1 — t_n = h_n. В узлах сетки определены значения функции: f_n__b f_n> /_я+1. Пусть т_и — значение второй производной в точке t_n (пока неизвестное!). Па отрезке [t_n t_n+1] для второй производной кусочно-кубического сплайна имеем.

Так как сплайн — полином третьей степени, то его вторая производная — линейная функция. Интегрируем выражение (7.13) по t, получаем (на отрезке [t_n; t_n+1])

См., например: Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику.

Л_п — константа интегрирования. После второго интегрирования мы положили.

т.е. вместо двух констант Л_и, В_п ввели две новые константы, более удобные для дальнейших выкладок.

Из условий P (t") = /," P (t_n+]) =/_л+1 получаем.

Приравниваяпервыепроизводныев?"справаислева (РД?_/7 +0) = P/(?_n -0)), получаем систему уравнений для определения коэффициентов сплайна.

которая дополняется соответствующими граничными условиями. В случае свободного сплайна т₀ = m_N= 0. Коэффициенты т иногда называют моментами сплайна.

Локальный сплайн. Локальная форма сплайн-интерполяции предложена В. С. Рябеньким^[3]. Не вдаваясь в детали, приведем важные для практического использования формулы в случае постоянного шага сетки (h = const).

Построим интерполяционный полином второго порядка Р₂(х) в форме Ньютона (d-f")/т:

Этот полином приближает/ на отрезке [t_n__{; t_n+{] с точностью до о (/?^{1 2}). Рассмотрим теперь полином.

представляющий собой аппроксимацию функции / на отрезке [t_n t_n+1 с непрерывными первой и второй производными. Доказано¹, что выражение (7.15) аппроксимирует с порядком o (h^[4]~^m) во всех точках отрезка. Так как коэффициенты сплайна зависят от значений функции лишь в четырех соседних точках и для определения коэффициентов (7.15) не требуется решать систему линейных уравнений, такая кусочно-гладкая интерполяция называется локальным сплайном.

Замечание 7.1. Q$(t_yf_n) уже не обладает экстремальным свойством (7.12) и является сплайном в смысле более общего определения².

Сплайны с локальным носителем (5-сплайны). В последнее время в вычислительной практике широкое распространение получили 5-сплайны (от английского слова bell — колокол), сосредоточенные на конечном носителе. Они используются как для интерполяции функций, так и в качестве базисных функций при построении методов типа конечных элементов. 5-сплайны являются естественными базисными функциями в пространстве сплайн-функций^[4].

Мы здесь ограничимся наиболее распространенными случаями 5-сплайнов порядка 2 и З^[6].

Рассмотрим случай 5-сплайна 2-го порядка, задаваемого формулой.

См.: Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику.

См. работы: Fehlberg Е. Op. cit; Завьялов /О. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980; Завьялов Ю. С., Леус В. Л., Скороспелое В. А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985; Вершинин В. В., Завьялов Ю. С., Павлов II. II. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск: Паука, 1988.

• 11ри t < t_k_₂, t > tfc+2 Sk (x) = 0. Построенный сплайн обладает следующими свойствами:
• 1) s;(t_k.₂)=s;(t_k+2)=0;
• 2) S (t_k__{) = S (t_k+1) = и
• 3) S (t_k_₂) = S (t_k+2) = о.

Для аппроксимации функции имеем равенство.

а для коэффициентов a_k получаем систему линейных уравнений. Обратим внимание, что S{t^) = 2. Пусть для решения задачи интерполяции мы требуем, чтобы во всех узлах сетки выполнялось равенство (7.16). Тогда.

для внутренних узлов. На границе расчетной области имеем.

Ввиду того что матрица системы обладает строгим диагональным преобладанием, она невырожденная. Напомним, что о диагональном преобладании говорят в случае, когда для каждой строки матрицы выполнено N. .

неравенство а_И > X К⁷// ^и хотя бы для одной строки имеет место стро;

7=1.

j*i

гое неравенство. Если для всех строк матрицы выполнено неравенство N. .

^ап| > X ^aij> ^то говорят о строгом диагональном преобладании. Система 7=1.

j*i

уравнений для коэффициентов интерполяции всегда имеет единственное решение.

Для 5-сплайна степени 3 имеем.

Для интерполяции функции с помощью 5-сплайна 3-й степени также приходится решать линейную систему, определяющую коэффициенты разложения.

О практической реализации алгоритмов решения систем ОДУ с запаздыванием при помощи сплайн-интерполяции. Но числу арифметических операций предпочтительным является, конечно, алгоритм с использованием локальных сплайнов. Он дает неплохие результаты, например, в сочетании с классическими методами Рунге — Кутты 4-го порядка. Кроме того, локальный сплайн будет «чувствовать» приближение точек разрывов производной.

Более сложными являются алгоритмы, основанные на применении^{-сплайнов} произвольного порядка. Для В-сплайна произвольного порядка можно выписать интерполянты, приближающие функцию с высокой точностью. Имеет смысл реализовывать алгоритмы в сочетании с В-сплайнинтерполяцией, например, в связи с методами Дормана — Принса.

Для интегрирования систем ОДУ с запаздывающим аргументом можно предложить методы невысокого порядка аппроксимации, построенные на использовании наборов шагов, дающих узлы, совпадающие с нулями полинома Чебышева на отрезке [пТ:; (/? + 1) Г| при решении системы методом шагов. При этом вместо сплайна строится алгебраическая интерполяция, так как интерполяция функций даже с разрывами производной первого рода не приводит на сетке из нулей полинома Чебышева к быстрому росту константы Лебега и, следовательно, погрешности интерполяции^[7].

Можно также пытаться построить непрерывный метод Рунге — Кутты с набором коэффициентов с,-, совпадающих с нолями полинома Чебышева на отрезке [t_n t" + т]. Естественно, при этом придется отказаться от условия Кутты Cj = Y*^aji' которое является необязательным (см. параграф 5.2). Для обеспечения непрерывности метода на отрезке строится алгебраическая интерполяция по точкам t_n, t_n + с_ух,…, t_n + с_кх.

Два последних подхода, несмотря на очевидность идеи построения, практически не исследованы и не встречаются в литературе по численным методам.

• [1] Или полиномом степени не выше, чем 3.
• [2] Сплайнам посвящена обширная литература. В специальной литературе существуетобобщение понятия сплайна на специальные классы кусочно-полиномиальных интерполяций.
• [3] Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956; Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механикисплошной среды. М.: Наука, 1987.
• [4] О приложениях ?-см л ай нов и В-сплайнах произвольной степени см. в работах: Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Указ, соч.; Завьялов Ю. С., Леус В. Л., Скороспелое В. А. Указ. соч. и современных публикациях, например в журнале «Математическоемоделирование».
• [5] О приложениях ?-см л ай нов и В-сплайнах произвольной степени см. в работах: Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Указ, соч.; Завьялов Ю. С., Леус В. Л., Скороспелое В. А. Указ. соч. и современных публикациях, например в журнале «Математическоемоделирование».
• [6] См. также работу: Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. В ней использован чисто инженерный подход к решению задач сплайн-интерполяции.
• [7] Рябенький В. С.

  Введение

  в вычислительную математику.