Неевклидова длина окружности

Рассмотрим неевклидову окружность с центром в А радиуса г и определим её длину (фиг. 54). По условию.

Фиг. 54.

Обозначая через R евклидов радиус окружности, т. е.

имеем: н, значит,

Последний интеграл легко вычислить, если положить tg^- = «:

Исключая R, получим:^- = у ^ *• Заметив, что ^=е ^к _t

окончательно найдём:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Фиг. 55.

Угол параллелизма в геометрии Лобачевского.

Неевклидов перпендикуляр АН, опущенный из точки А на неевклидову прямую К, образует с двумя неевклидовыми параллельными прямыми один и тог же угол, как мы это докажем; этот неевклидов угол называется неевклидовым углом параллелизма (фиг. 55). Задача настоящего пункта состоит в том, чтобы вычислить значение этого угла [{р) в функции p=D (A, Н).

Не уменьшая общности, ради простоты, мы можем посредством неевклидова перемещения, т. е. линейного преобразования, сохраняющего верхнюю полуплоскость, изобразить неевклидову прямую К в виде прямой Ki, перпендикулярной к действительной оси.

Очевидно, две неевклидовы параллельные прямые, проходящие через точку А, изобразятся тогда посредством прямой А, перпендикулярной к Ох,

Фиг. 56.

и полуокружности, касательной в точке / к /С] (фиг. 56).

Неевклидовперпендикуляр, опущенный из А_х на К_ь изобразится полуокружностью с центром в /, проходящей через А_{.

Проведём прямолинейный отрезок 1Ал и обозначим через, а угол А_Х1Н_Х.

Очевидно, тогда имеем из фиг. 56: А А₁Т=^—а,.

Т’А₁/=а и, значит, ТА{Г=~ — а = 1AiT= П (р), чем доказывается равенство углов, образованных А_ХН_Х с /1|Д и AJ. С другой стороны, мы видели, что II {р) = у — а.

ал ^У

Вычислим p = D (A_L, H_i) = k. Очевидно, получаем: или.

откуда.