Схема замещения и уравнения линии

Представим линию в виде рис. 11.2, состоящей из бесконечного ряда элементарных участков dx.

Рис. 11.2.

Если через r₀, L₀, C₀, g₀ обозначить первичные параметры, приходящиеся на единицу длины линии (например, на погонный метр), то из рис. 11.2 очевидно, что продольные активное сопротивление и индуктивность, а также поперечные проводимость и емкость для участка dx соответственно будут r₀dx, L₀dx, C₀dx, g₀dx, где x — расстояние, отсчитываемое от начала линии, а у — от конца. При этом g₀ Ф 1 / г₀, поскольку g₀ — проводимость токов утечки из-за несовершенства изоляции проводов на единицу длины линии, а г₀ — активное сопротивление проводов линии на единицу ее длины.

Если ток в начале первого участка dx считать равным i (он же будет и в конце участка, поскольку на длине dx ток считается неизменным), напряжение — и (см. рис. 11.2), то их изменения будут зависеть от двух параметров — расстояния х (у) и времени t. Поэтому используем частные производные от и и i по х и t. Тогда падение напряжение на участке dx и ток в ветви g₀dx—C₀dx в конце этого участка можно записать так:

Сократив полученные уравнения на dx, получим дифференциальные уравнения длинной линии в частных производных, которые также называются телеграфными уравнениями'.

Заметив, что левые части уравнений (11−2) будут со знаком «+», если расстояние отсчитывать от конца линии (у), укажем, что уравнения (11−2) могут быть решены, если будут известны начальные (и_х и ц в начале или и₂ и ?*₂ в конце линии) и граничные значения напряжения и тока (математические связи между щ и i, или и₂ и i₂ в зависимости от режима работы линии).

Перепишем уравнения (11−2) в комплексной форме, вспомнив, как они получаются из оригиналов, а также то, что при символическом способе простые производные, но времени можно заменять множителем усо, и опустив оператор вращения е)^ш

где Z₀ = (r₀ + /о)А₀) и 7₀ = (g₀ + jo)C₀) — комплексные продольное сопротивление и поперечная проводимость единицы длины линии.

Таким образом, (11−3) — уравнения длинной линии, или телеграфные уравнения в комплексной форме.