Описание дискретных сигналов

В теории цепей широко распространены две формы математического описания сигналов: временная и частотная. Описание сигнала в виде временной функции х (р) является основной формой его представления как носителя информации. Спектральное представление в виде комплексной функции X (j (o) позволяет судить о частотных свойствах сигнала. Спектральное представление сигналов используется при анализе цепей, например фильтров. Рассмотрим особенности временного и спектрального представления ДС.

Временное представление ДС. Дискретный сигнал описывают последовательностью чисел, с использованием следующих равноценных обозначений:

где JV_min, JV_max — целые числа, в диапазоне отоо до +оо, Т_л — интервал дискретизации. Фигурные скобки показывают, что сигнал представлен совокупностью отсчетов. Сигнал х (пТ_л) свидетельствует о равномерном размещении элементов последовательности ДС на временной оси. Обозначения х (п), х_п могут применяться при неравномерном размещении отсчетов.

Представление элементарных ДС. Рассмотрим некоторые элементарные числовые последовательности, используемые в теории дискретных сигналов и цепей. Отметим, что при сдвиге последовательности х (пТ_д) по оси времени на kT_;i образуется последовательность у (пТ_л) =х (пТ_л — кТ_я), при этом к > 0 соответствует запаздыванию или сдвигу вправо по оси времени, а к < 0 — опережению или сдвигу влево. Графики последовательностей изображены на рис. 7.2.1. В некоторых случаях (рис. 7.2.1, г) можно ограничиться огибающей сигнала, не изображая отдельные отсчеты.

Ниже приведены выражения элементарных ДС и отмечены их некоторые особенности.

Единичный импульс (рис. 7.2.1, а)

Единичный импульс 5(/?) играет роль дельта-функции 8(t) для ДС. Отклик дискретной цепи на Ъ (п) соответствует ее импульсной характеристике h (n). К одному из важных свойств единичного импульса, как будет показано ниже, относится тот факт, что любая последовательность х (п) может быть выражена в виде линейной комбинации сдвинутых импульсов 8(п — к).

Единичный скачок (ступенька) (рис. 7.2.1, 6):

Рис. 7.2.1. Графическое представление элементарных ДС.

Отклик на единичный скачок определяет переходную характеристику дискретной цепи. Единичный импульс и единичный скачок связаны следующими соотношениями:

Прямоугольный импульс конечной длительности (рис. 7.2.1, в):

Дискретный комплексный гармонический сигнал (рис. 7.2.1, г):

где со — безразмерная частота, отнесенная к частоте дискретизации.

Дискретный комплексный гармонический сигнал на комплексной плоскости представляет собой единичный вектор, конец которого дискретно, с угловым шагом со, перемещается, но единичной окружности. Такое дискретное вращение осуществляется против часовой стрелки при положительной и по часовой стрелке при отрицательной частоте сигнала со.

При подаче последовательности (7.2.6) на вход ДЦ с импульсной характеристикой h (n) на ее выходе появится отклик.

Как очевидно из (7.2.7), отклик линейной стационарной ДЦ совпадает с воздействием х_е(п) = с точностью до множителя.

который называют частотной характеристикой ДЦ [49]. При этом сигнал (7.2.6) выполняет функции тестового сигнала ДЦ (как и гармонический сигнал для аналоговых цепей) и при анализе дискретных цепей используется для получения частотных характеристик по передаточной функции:

Сигнал x_e(n) = ej^(on, удовлетворяющий условию (7.2.7), называют собственной функцией линейной стационарной ДЦ.

Представление произвольных последовательностей. Один из способов представления ДС состоит в описания его функцией x_a(t) непрерывного времени t, получаемой умножением анаюгового сигнала x_a(t) на дискретизирующую функцию.

в виде периодической (с периодом, равным Т_л) последовательности 5-импульсов:

Соотношение (7.2.9) соответствует выборкам аналогового сигнала в дискретные периодически повторяющиеся моменты времени. При его выводе использовано фильтрующее свойство 5-функции. Достоинство описания (7.2.9) — показывает практический способ формирования ДС (см. рис. 7.1.2), который давно используется в радиопередающих устройствах с импульсной модуляцией.

Если сигнал x_a(t) = Х_п= const на интервале t е {п— 0,5)Т_л, (п + 0,5)7'.,], то между х (пТ_л) и x_a(t) существует следующая связь.

Соотношение (7.2.10) свидетельствует о том, что отсчет х (пТ_л) численно равен площади импульса (Х_пТ_л). Следовательно, сигналы х_д(?), полученные с помощью формирователя (УВХ — см. рис. 7.1.2, б), обладают одинаковыми свойствами с дискретными сигналами х (пТ_л), хотя и имеют разную размерность. Эта особенность позволяет в математическом плане отождествлять цифровые и импульсные сигналы с дискретными сигналами (и цепями).

Рассмотренный способ дискретизации (7.2.9) аналогового сигнала м_а(L) называют амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ). Возможен другой способ формирования импульсных последовательностей с такими же свойствами, который называют широтно-импульсной модуляцией (IIIИМ). В отличие от АИМ амплитуды импульсов на выходе широтноимпульсного модулятора постоянны, а их длительность (ширина) пропорциональна мгновенным значениям (отсчетам) аналогового сигнала. Обычно ШИМ применяется в тех случаях, когда аналоговый сигнал имеет широкий динамический диапазон, т. е. его значения изменяются в очень больших пределах.

Таким образом, введенное выше понятие дискретного сигнала распространено на импульсные сигналы, в которых дискретным параметром является площадь импульсов. Поэтому разработанный математический аппарат на основе г-преобразования может быть использован для анализа и синтеза цифровых цепей и цепей на переключаемых конденсаторах.

Спектральное представление непериодических ДС. Возможно два подхода к решению этого вопроса. Спектральную плотность, или спектр, дискретного сигнала Х_д(/со) можно определить путем дискретизации по времени соответствующего ему преобразования Фурье.

аналогового сигнала. Заменив t на nT_v интеграл на сумму и dt на Г_д, получим.

Другой подход состоит в непосредственном нахождении преобразования Фурье дискретного сигнала х_д(?), представленного функцией непрерывного времени, как (7.2.9). Рассмотрим общий случай, когда в качестве дискретизирующей функции вместо /§(?) используется z (t) — периодическая последовательности импульсов произвольной формы.

Запишем выражение для ДС, представив z{t) в виде ряда Фурье:

Используя для (7.2.12) прямое преобразование Фурье, получим спектральное представление дискретизированного сигнала х_л(1):

Соотношение (7.2.13) играет важную роль, поскольку позволяет:

• • связать спектры дискретного и аналогового сигналов;
• • установить влияние формы импульсов z (t) на закон изменения спектра Х,(/со);
• • выявить условия, при которых в процессе дискретизации не происходит наложения спектров.

Из выражения (7.2.13) следует, что процесс дискретизации сопровождается появлением новых спектральных компонентов, которые образуются смещением спектра X._d(joi) модулирующего колебания x_a(t) на частоты, кратные частоте дискретизации со, = 2п/Т_л.

Влияние формы импульсов z (t) на спектр Х_д(/со). Масштабными коэффициентами спектральных компонентов в (7.2.13) являются коэффициенты С_к ряда Фурье, которые зависят от формы импульсов периодической последовательности z (t). Если для дискретизации используется последовательность прямоугольных импульсов z (t) с амплитудой Z_m и длительностью т < Г_д, то.

При использовании идеальной импульсной последовательности.

коэффициенты ряда Фурье могут быть получены из (7.2.14) при т —" 0, т. е.

поскольку sin (&(o₄x/2) —" ?(о_дт/2, амплитуда 8-импульсов Z_/w—"оо, поэтому Z_OTx = С₅ = const.

Сопоставление (7.2.15) с (7.2.14) позволяет сделать следующие выводы:

• • при идеальной импульсной дискретизации все масштабные коэффициенты С_к = С_б/Г_д;
• • в реальных условиях k-e компоненты спектра Х_д(/со) ослабляются за счет зависимости коэффициентов ряда Фурье С_к от номера k.

Влияние ширины спектра Х_а(усо) на качество дискретизации. Рассмотрим спектры при идеальной дискретизации (см. рис. 7.1.1, е), полагая при этом, что:

• спектр аналогового сигнала x^{t) ограничен частотой со_т;

• частоты дискретизации удовлетворяют следующим условиям: (Од > 2co_w и со_д < 2co_w.

Из рис. 7.1.1, е очевидно, что.

• • при (Од > 2(о," спектры отдельных компонентов Х_л(/со) не перекрываются. Поэтому спектр Х_а(/(о) исходного аналогового сигнала может быть восстановлен с помощью фильтра нижних частот;
• • при (Од < 2оз_т наблюдается эффект наложения спектров, который делает невозможным восстановление спектра Х_а(/со), а следовательно, и исходного аналогового сигнала x_a(to) без искажений.

Таким образом, качество дискретизации определяется выбором частоты дискретизации ю_д аналогового сигнала.

Представление периодических ДС. Дискретный сигнал х (п) называют периодическим с периодом N, если х (п) = = х (п + = х (п + kN), где п, k — целые числа. Для периодических ДС имеют место соотношения, называемые прямым.

(ПДПФ) и обратным (ОДПФ) дискретными преобразованиями Фурье:

гдеХ*, =X (k) = X (kT); х_п =х (п) -х (пТ); Т — период ДС;

Если ввести обозначения а_к = Х_к + Х^,__к, а₀ = 2Х₀, Ь_к = =j (X_k -Х^__к), то выражение (7.2.17) с учетом (7.2.18) можно представить в виде тригонометрического полинома:

где р = [(Л^г+1)/2] — целая часть числа, равного или меньшего (iV+1)/2; последний член имеет место только при четном N, при этом а_р = 2Х_р, Ь_р = 0.

Таким образом, по своей сути ОДПФ (7.2.17) представляет собой значения тригонометрического полинома (7.2.19), который определен на интервале t = 0… 7 в дискретной системе точек t_k = kT/N (k — 0, 1, …, N — 1), а ПДИФ (7.2.17) — его коэффициенты в комплексной форме. Тригонометрические полиномы (7.2.19) используются при интерполяции и аппроксимации нелинейных функций и характеристик нелинейных элементов.

Поскольку в реальных условиях дискретные сигналы заданы (определены, существуют) на конечном временном интервале, для их представления используют фиктивное периодическое продолжение. Дискретные сигналы могут обрабатываться в реальном времени с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье.