Аксиоматический метод. 
Философия и методология науки

В основе метода лежит идея аксиомы — утверждения, не требующего доказательства. Область научного знания, которая строится аксиоматическим способом, выступает как единая дедуктивная система, в которой все содержание теории может быть логически выведено из ее начальных основоположений — аксиом.

Аксиоматический метод возник в математической науке; своими корнями он уходит в Античность. Как известно, древнегреческий математик Евклид изложил свое геометрическое учение как аксиоматическую систему. Па многие столетия геометрия Евклида стала образцом строгого научного мышления вообще, оказав влияние и на другие области знания (так, знаменитая «Этика» Б. Спинозы строится по образцу евклидовых «Начал»). Современное применение аксиоматического метода начинается с нового изложения геометрии Д. Гильбертом на рубеже XIX—XX вв. (1899).

Аксиоматический метод находит широкое применение в различных областях. Удалось аксиоматизировать ряд физических дисциплин. Имеются попытки применения этого метода и в менее математизированных областях, например в биологии (Дж. Вуджер, А. Тарский, У. Флойд, У. Хоффман и другие).

Построение аксиоматической системы начинается с выявления в составе некоторой содержательной концепции ее первичных, фундаментальных понятий, которым можно придать статус неопределяемых. Выбираются также исходные утверждения теории, которые принимаются без доказательства и которым придается статус аксиом. В естественно-научных теориях в роли аксиом, как правило, выступают их главные принципы, базисные допущения, основные законы. Далее уточняются допустимые правила рассуждений, согласно которым из одних положений можно логически выводить другие; они обычно совпадают с правилами дедуктивного вывода, хорошо изученными в логике. Поэтому логическое исчисление тоже является обязательной частью аксиоматической системы.

Итак, в состав аксиоматизируемой теории входят: 1) логическое исчисление («чистые» логические аксиомы и правила вывода); 2) «словарь» — термины внелогического (конкретно-научного) языка и их определения (для определяемых терминов); 3) внелогические аксиомы.

Современный аксиоматический метод приобрел абстрактную направленность: если у Евклида аксиомами служили интуитивно истинные положения, а сама теория была проинтерпретирована единственным, «естественным» образом, то с современных позиций аксиома — это не самоочевидное положение, а любое соглашение, которому сознательно дается статус аксиомы. Это означает, что исходные соглашения могут быть и весьма далекими от наглядности.

Сам процесс аксиоматизации требует глубокого знания содержательных аспектов и взаимосвязей исходной теории. Кроме того, с логической стороны различные варианты аксиоматизации могут иметь различную ценность. Например, важное значение имеет выбор аксиом и их количество. По теореме Эренфойхта — Мыцельского (1971), добавление новой аксиомы в формальную систему может, не изменяя множества выводимых в ней высказываний, существенно сократить длину доказательств многих теорем, что, помимо прочего, означает повышение практических достоинств аксиоматизируемой теории.