Приближенный метод расчета цилиндра с жестко закрепленными торцами

Метод компенсирующих нагрузок

Как было отмечено в подпараграфе 5.2.1, естественным ограничением метода разделения переменных при расчете радиально неоднородных цилиндров является невозможность удовлетворения произвольным граничным условиям на торцах. Из представления решения в форме (5.17) автоматически вытекают граничные условия (5.12), а при замене в (5.17) cosk_tlz на sink_ltz — условия (5.13). Там же было отмечено, что на практике обычно встречаются граничные условия (5.14) или (5.15), первые из которых соответствуют свободному торцу, а вторые — жесткой заделке. В настоящем подпараграфе на примере осесимметричной задачи рассматривается приближенный метод расчета цилиндра с жестко заделанными (защемленными) торцами.

В этом случае граничные условия на одном или обоих торцах записываются в виде.

Для граничных условий (5.46) известны решения для однородных цилиндров. Что же касается неоднородных цилиндров, то в работе [2] получены решения лишь для условий.

Предлагаемый метод основан на алгоритме расчета цилиндров на действие поверхностных нагрузок, описанном в данной главе, использовании расширенной области и компенсирующих нагрузок с применением метода коллокаций.

Сначала рассмотрим задачу, когда внешние нагрузки симметричны относительно плоскости 2, = Я/2 (рис. 5.20). О способах решения несимметричных задач будет сказано ниже. Увеличив высоту цилиндра в обе стороны на величину 5, введем координату г = 2, + б. К боковым поверхностям цилиндра на участках [0, 5] и [Я + 8, Я + 28] приложим та;

Рис. 5.20. Схема расчета цилиндра с расширенной областью.

Рис. 5.21. Компенсирующие нагрузки в расширенной области.

кие компенсирующие нагрузки р*, р?, q* и чтобы в заданных точках А (г = г,) и В (г = г₂) при z=5uz=8+H (рис. 5.21) выполнялись условия.

Условия (5.47) можно рассматривать двояко. Это либо реальные жесткие закрепления торцов цилиндра по двум окружностям (например, сварка закладных деталей), либо приближенное удовлетворение граничным условиям (5.46) в точках коллокации. Если равенства (5.47) рассматривать как условия реального закрепления, то следует добавить, что в остальных точках слоев 2=6и2=б+Я перемещения w могут быть как положительными, так и отрицательными. В этом случае необходимо принять гипотезу об идеальном контакте между торцами цилиндра и опорными поверхностями, как это делается в большинстве контактных задач, например при расчете балок на упругом основании.

Рассмотрим характер компенсирующих нагрузок. Если представить, что эти нагрузки являются реакцией полубесконечного массива на стенки заделанного в него цилиндра, то по мере удаления от слоя z = б к слою 2 = 0 касательные и нормальные нагрузки должны стремиться к нулю. Для описания таких нагрузок приближенно могут быть выбраны функции вида.

Такие функции хорошо аппроксимируют нормальные нагрузки и хуже — касательные, которые вблизи слоя г = 8 имеют пиковый характер и при 2 = 5 равны нулю. Тем не менее если иметь в виду, что в дальнейшем компенсирующие нагрузки раскладываются в ряды Фурье по первым двум формулам (5.19) при т = 0, то пиковый характер нагрузок Ча ^и Чъ будет достаточно точно соответствовать их представлениям в виде ряда.

На рис. 5.22 показано представление функции (5.48) при /₀ = 1, у = 2 и 8 = 0,2# разложениями в ряд Фурье при числе членов ряда N = 24 и N = 48. При 2 = 8 значения функций, соответствующих разложениям в ряд, равны 0,5, что соответствует теореме Дирихле о разложении в ряды Фурье разрывных функций. В соответствии с этой теоремой в точке разрыва (если разрыв конечен) ряд Фурье сходится к значению (/⁺ + /)/2, где Р и р — значения функции справа и слева от точки разрыва. Из приведенных на рис. 5.22 графиков очевидно также, что даже при относительно небольшом числе членов ряда представление рассматриваемой функции можно считать удовлетворительным.

Рис. 5.22. Представление функции/рядом Фурье:

пунктирная линия — формула (5.55); сплошные линии — ряд Фурье (1-#=24; 2-#=48).

Суть рассматриваемого метода заключается в следующем. Представляя компенсирующие нагрузки р*, р? q* и ql в виде (5.48) и варьируя параметры 5 и у, необходимо добиться выполнения в точках Л и В (см. рис. 5.21) условий (5.47). Следует добавить, что при использовании метода коллокаций возможны большие невязки условий (5.47) в остальных точках интервала (а, Ь) на слое 2 = 8. Поэтому выбор перечисленных выше параметров функций (5.48) должен сопровождаться также анализом указанной невязки и ее минимизацией. При этом остается еще возможность выбора радиусов г, и г₂, определяющих положение точек Л и В.

Предлагается следующая последовательность решения задачи. На первом этапе с помощью численно-аналитического метода, изложенного выше, решается задача на действие внешних силовых (р_а, p_h, q_n, q_h) и температурных нагрузок на цилиндр длиной Н + 25. При этом на торцах 2 = 0и2 = Я+25 предполагается наличие шарнирных (скользящих) заделок, что и позволяет применить указанный метод. В результате решения определяются перемещения Up, w_p в точках А я В (индексом Р обозначаются перемещения от внешних (активных) нагрузок). Условие симметрии относительно плоскости 2 = Я/2 + 5 позволяет ограничиться рассмотрением перемещений на слое 2 = 5.

Далее последовательно решаются задачи на действие компенсирующих нагрузок р'_р р)], q]) и q)], задаваемых в виде (5.48). При этом наибольшие значения этих нагрузок полагаются равными единице (единичные нагрузки). Определив перемещения от единичных нагрузок в точках А я В, можно построить систему алгебраических уравнений, соответствующих условиям (5.47):

где U^K— матрица перемещений от единичных компенсирующих нагрузок размером 4×4:

в которой индексами 1—4 обозначены соответственно перемещения от нагрузок р’р pi, q*я qК = (K_t, К₂, K_v К_л) — вектор неизвестных коэффициентов; U_P = (и_рл, w_PA, и_рв, w_PB) — вектор перемещений от активных нагрузок, включающий в себя перемещения Up, w_p в точках А я В.

Коэффициенты /С,—/С₄, найденные в результате решения системы уравнений (5.49), определяют фактические значения компенсирующих нагрузок на уровне 2 = 5. Иными словами, необходимые для выполнения условий (5.47) компенсирующие нагрузки на участке 0 < z < 5 будут иметь вид.

Суммируя решения пяти задач (от внешних и четырех компенсирующих нагрузок), получим окончательное решение задачи, удовлетворяющее поставленным граничным условиям.

Как было отмечено выше, в предлагаемом методе имеется три произвольных фактора:

• • глубина фиктивной заделки 5;
• • степень функций компенсирующих нагрузок у;
• • выбор точек коллокации А и В.

Исследование влияния этих факторов на напряженнодеформированное состояние цилиндра и определение оптимальных параметров расчета проведем на примере решения задачи для однородного цилиндра, чему посвящен следующий подпараграф.