Классический метод расчета переходных процессов

Режим цепи в течение переходного процесса описывается дифференциальными уравнениями, в общем случае неоднородными (если в цепи есть источники ЭДС и тока) или однородными (если в цепи нет источников ЭДС и тока). Заметим, что переходный процесс в линейной цепи описывается линейным дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

Рассмотрим расчет переходных процессов в линейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные методы, которые могут применяться и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического метода, который обладает физической наглядностью и применение которого к расчету переходных процессов в относительно простых цепях проще, чем других методов расчета (операторный, интеграла Фурье и др.).

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы:

• 1. Необходимо составить систему дифференциальных уравнений цепи и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение для искомой величины i или и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
• 2. Составить общее решение полученного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения дифференциального неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В применении к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_y и и_у и называют установившимися. Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают /_св и и_св и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени t. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении для переходных токов и напряжений, т. е. / = i_y + i_ce, и = и_у+и_св, следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутации (/+) такие же, как в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (/_). Эти условия получаются из законов коммутации.