Фазовые портреты нелинейных систем

Нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия (особых точек) и характеризуются большим разнообразием фазовых портретов. Если правые части нелинейных уравнений.

допускают линеаризацию в окрестностях особых точек, то эти особые точки могут быть лишь тех же типов, что и особые точки в случае линейных систем. Чтобы определить тип какой-либо особой точки, нужно произвести линеаризацию правых частей приведенных уравнений в окрестности этой точки, а затем по линеаризованным уравнениям определить ее тип.

В качестве примера рассмотрим фазовый портрет нелинейной системы, которая описывается уравнениями [53].

Приравняв правые части нулю, получим следующие уравнения для особых точек:

Эта система уравнений имеет три решения:

В окрестности первой точки линеаризованные уравнения имеют вид.

имеет чисто мнимые корни Ai, 2 = ±J. Следовательно, точка (0,0) является особой точкой типа центр.

В окрестности точки (1,-1) линеаризованные уравнения имеют вид

где fj — Х — 1, rj2 = а?2 + 1* Характеристическое уравнение этой системы уравнений.

имеет вещественные корни с разными знаками: Ахд = (—3 ± /17)/2. Следовательно, точка (1,-1) является особой точкой типа седло.

В окрестности третьей точки (— 1,1) линеаризованные уравнения принимают точно такой вид, что и в предыдущем случае, если принять 771 = Х + 1, Tj2 = Х2 — 1. Следовательно, точка (— 1,1) также является особой точкой типа седло.

На рис. 2.7 представлен фазовый портрет рассматриваемой системы. Из этого рисунка видно, что точка равновесия (0,0) устойчива по.

Ляпунову, а две другие точки равновесия неустойчивы. Если движение начинается внутри замкнутой жирной линии, то возникает колебательный (периодический) процесс. Если движение начинается вне указанной замкнутой кривой, то возникает расходящийся процесс.

Как следует из рассмотренного примера, при наличии нескольких точек равновесия возможны различные типы фазовых траекторий. Особые кривые (жирные кривые на рис. 2.7), разделяющие фазовую.

_ _ _ плоскость на области с разными ти;

Рис. 2.7. Фазовый портрет нели- _{пами фазовых траекториЙ! называ}.

нейной системы ^ ^{r г}

ются сепаратрисами.

Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать другой тип особой кривой — изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами. Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу (рис. 2.8, а), то такой предельный цикл называется устойчивым предельным циклом. Устойчивому предельному циклу соответствует асимптотиче;

2.8. Предельные циклы ски орбитально устойчивое периодическое движение (автоколебания). В системе, у которой фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 2.8, а, автоколебания возникают самопроизвольно при любых начальных условиях. В этом случае говорят, что имеет место мягкое самовозбуждение [1].

Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него (рис. 2.8,6), такой предельный цикл называется неустойчивым предельным циклом. Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, нельзя наблюдать. Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится. Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия (начала координат).

Возможны два предельных цикла (рис. 2.8, в, г). Внутренний предельный цикл на рис. 2.8, в устойчив, и ему соответствуют автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколебаний: автоколебания возникают при любых начальных отклонениях, не выходящих за наружный предельный цикл.

Наружный предельный цикл на рис. 2.8, г является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия — отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия. В этом случае говорят, что имеет место жесткое самовозбуждение [1].