Использование четырехугольного квадратичного элемента

В качестве примера рассмотрим применение четырехугольного квадратичного изопарамстрического элемента при решении плоской задачи теории упругости методом конечных элементов. Такой элемент (рис. 23.16) имеет восемь узлов (четыре по углам и четыре посередине сторон). По углам элемента показаны естественные координаты узлов ЛД^ля численного интегрирования по трехточечной схеме указаны девять точек интегрирования. Их естественные координаты одинаковы по? и л (—0,7746, 0, 0,7746), соответствующие весовые коэффициенты и У_Ц — в квадратурных формулах Гаусса (0,5536, 0,8889, 0,5536).

Рис. 23.16. Функции формы /V (?, л) прямоугольного квадратичного элемента, естественные координаты точек интегрирования? и г) и весовые коэффициенты Wдля них Матрицу Якоби для точек интегрирования с координатами и л определяем путем умножения соответствующих производных функций формы на координаты узлов элемента (векторы z и у):

С помощью матрицы Якобы вычисляем производные функций формы в декартовых координатах:

В выражении (23.11) матрица производных функций формы [/?] = Z)^[/V] для восьмиузлового элемента имеет размерность 2×16, гак как в каждом узле два перемещения (по осям z и у). Функции формы зависят только от координат узлов, поэтому матрицу производных функций формы надо дополнить нулями до нужной размерности с учетом того, что перемещения по оси z примем нечетными, по оси у четными.