Особенности переходного процесса в цепях первого порядка

Вид свободной составляющей

К цепям первого порядка относятся те цепи, которые в переходном режиме описываются дифференциальным уравнением первого порядка. Этому случаю удовлетворяют цени, содержащие наряду с резистивными элементами один накопитель энергии (либо индуктивность, либо емкость).

Дифференциальному уравнению первого порядка соответствует характеристическое уравнение первой степени, имеющее один корень. При этом свободная составляющая переходного тока или напряжения имеет вид /_св(?) = Ае'" , где р — корень характеристического уравнения, представляющий собой вещественную отрицательную величину. Отрицательный знак р свидетельствует о затухающем характере свободной составляющей в линейных цепях.

Поэтому функцию/_св(?) математически можно записать в более определенном виде /_св(?) = Ае~^ здесь |р| — абсолютная величина, или модуль, корня характеристического уравнения цепи.

Понятие постоянной времени

Быстрота затухания экспоненты е ^|''¹' зависит от абсолютной величины р. Очевидно, при увеличении р крутизна экспоненты растет, функция Ае ^р1 убывает быстрее. На рис. 8.7 для наглядного сравнения приведены две экспоненты Л<�Г^|р>¹' и Ае~^‘ при р₂ > |/;,|.

При малых величинах р функция Ае^^р'‘ убывает медленно. В предельном случае, когда |/э | —*? 0 имеем /(?) = А = const. Его можно трактовать как незатухающую экспоненту. Таким образом, быстрота переходного процесса в цепи первого порядка полностью определяется величиной корня ее характеристического уравнения. Однако для оценки скорости протекания переходного процесса используют величину, обратную р, которую обозначают т. Величина т имеет размерность времени, называется постоянная времени и обладает четким физическим смыслом: т = 1/|р| — интервал времени, в течение которого свободная составляющая затухает в е раз (.

По графику экспоненты/_св(?) = Ае~^м> = Ае '^Л постоянная времени может быть определена как ее подкасательная (см. рис. 8.7).

Рис. 8.7. К понятию «постоянная времени» — т. Определение величины х но графику экспоненты.

Приближенная оценка длительности переходного процесса в цени первого порядка

За время Зт свободная составляющая убывает в е^л раз и составляет примерно 5% от ее первоначального значения. Поэтому в инженерной практике за время переходного процесса принимают интервал времени, равный (3-^5)т.

Оценим длительность переходного процесса для цепи, рассмотренной в примере 8.1 (см. рис. 8.1). Корню характеристического уравнения цепи.

соответствует постоянная времени т = 1/|р| = 0,2 • 10 ³ с = 0,2 мс. Следовательно, переходный процесс в цепи, изображенной на рис. 8.1, практически длится 0,6~Н мс.