Приведение доказательства теоремы Коши к простейшему случаю

Теорема Коши может быть формулирована таким образом: если f (z) есть функция, аналитическая в некоторой односвязной облаети О, то ^ f (z) dz, взятый вдоль любого замкнутого контура Г, лежащего в G, равен нулю.

Если мы допустим, что предложение Коши доказано в случае произвольной замкнутой ломаной линии Р, принадлежащей области G, то эта теорема будет верна для любой замкнутой кусочно-гладкой линии Г. Действительно, предполагая е (е>0) сколь угодно малым числом, впишем в замкнутый контур Г на основании леммы п. 1 замкнутую ломаную линию Р так, чтобы иметь:

Так как по допущению имеем: [ f (z)dz = 0, то из последнего.

р

неравенства следует:

Итак, первое упрощение доказательства теоремы Коши состоит в том, что мы сводим его на случай, когда контуром интегрирования является замкнутая ломаная линия.

Фиг. 74.

Покажем теперь, что доказательство этого случая приводится к случаю, когда линией интегрирования служит периметр треугольника. В самом деле, разбивая данный многоугольник с периметром Р диагоналями на треугольники (фиг. 74), представим [f (z)dz как сумму интегралов, взятых по периметрам треугольников, на которые разбит данный многоугольник:

так как интегрирование по каждой диагонали совершается два раза в противоположных направлениях, а потому уничтожается. Таким образом, если мы допустим, что предложение Коши доказано для случая, когда контуром интегрирования служит периметр произвольного треугольника области G, то оно, вследствие равенства (19), будет тем самым доказано для замкнутой ломаной лирии Р, а значит, и для линии Г.

Фиг. 75.