Пропускная способность бинарного симметричного канала с помехами типа «инверсия»

Рассмотрим работу достаточно типичной системы связи, в которой информация передается двоичными сигналами «О» и «1», имеющими разные уровни квантования. Приемное устройство (демодулятор) анализирует выход канала в течение промежутка времени, соответствующего длительности элементарного сигнала, для которой мы ранее приняли обозначение т₀, а затем вычисляет некоторую скалярную величину /и — средний за время т₀ уровень принятого сигнала. Решение принимается сравнением величины /л с некоторым порогом р. При р, > р принимается решение в пользу «1», а в противном случае, при /х < р, решением будет «О». При правильном выборе порога р вероятности ошибок при передаче сигналов «О» и «1» будут одинаковыми, и мы приходим к модели бинарного симметричного канала с инверсией (Б.С.К.И.). Недостаток такой простейшей схемы приема состоит в том, что демодулятор теряет информацию о надежности принимаемых сигналов. Очевидно, значениям д. ~ Р соответствуют ненадежные решения, и эти сведения могли бы быть полезными при последующей обработке информации.

Сформулируем модель Б.С.К. И. Пусть на вход канала подаются сигналы двух типов (п_х и и₂ — например, импульс и пауза или же сигнал высокого уровня и сигнал низкого уровня) и они же принимаются на выходе, т. е. {и} = {v}, Ми = Mv. Безошибочный прием сигнала означает, что при посылке и_г принимается Vj, а при посылке и₂ принимается v₂. Пусть вероятность ошибки передачи для обоих типов сигналов одинакова и равна р. Тогда вероятность безошибочной передачи равна 1 — р. То есть можно записать:

В виде графа такой канал можно представить следующим образом (рис. 3.12):

Рис. 3.12. Граф передачи сигнала в бинарном симметричном канале с инверсией.

Линии со стрелками указывают, в какие принимаемые сигналы могут перейти те, что отправлены на входе; рядом со стрелками указаны вероятности соответствующих переходов. Толстыми стрелками указаны безошибочные переходы, тонкими — ошибочная инверсия сигналов. Эту же систему можно представить в виде матрицы переходов марковской цепи с переходными вероятностями:

Такой канал называется двоичным симметричным.

Найдем пропускную способность двоичного симметричного канала с инверсией. Для этого потребуется вычислить полезную информацию /(u, v), найти скорость передачи информации и установить ее максимум как функции от вероятности ошибки р:

Вычислим энтропию принятого сигнала и энтропию шума:

Подставляя вероятности из матрицы перехода, получим:

При заданных вероятностях ошибок энтропия H (v|u) — величина постоянная. Максимум скорости передачи информации можно искать, варьируя вероятности Р (у,). Известно, что для бинарной системы энтропия будет максимальна, если сигналы равновероятны, и равна при этом 1, т. е. max H (v) = 1. Значит, пропускная способность будет равна.

График функции С (р) изображен на рис. 3.13.

Максимального значения, равного 1/т₀, функция С достигает в двух точках: при р = 0, что, очевидно, означает отсутствие помех, и при р — 1, что соответствует ситуации, когда канал всегда инвертирует входные сигналы (т.е. заменяет О на 1, а 1 на 0). Детерминированная инверсия входных сигналов не служит препятствием для однозначной идентификации посланного сигнала по принятому и, следовательно, не снижает пропускной способности канала. Во всех остальных ситуациях (т.е. при 0 < р < 1) верно неравенство С < 1/т₀. Судя по графику функции, с ростом вероятности инверсии двоичного разряда р на интервале от 0 до 0,5 пропускная способность канала с помехами резко уменьшается, не пропорционально росту р. Например, при р = 0,01 пропускная способность уменьшается на 8%, а при р = 0,1 — уже на 43%. Наконец, при р = 0,5 пропускная способность становится равной 0 — это вполне естественно, поскольку вероятность искажения 0,5 означает, что независимо от того, какой сигнал был послан, на приемном конце с равной вероятностью может появиться любой из двух допустимых сигналов. Ясно, что передача в таких условиях оказывается невозможной.

Поскольку канал двоичный, 1/т₀ = V = С₀ (так обозначим идеальную пропускную способность, т. е. пропускную способность двоичного канала без помех). Произведя соответствующую замену, получим

Рис. 3.13. Зависимость пропускной способности бинарного симметричного канала с инверсией от вероятности ошибок.

Идеальная (или, иначе, конструктивная или техническая) пропускная способность С₀ зависит только от аппаратуры канала, в частности, от частоты тактового генератора, определяющей длительность элементарного импульса. Выражение в скобках не превышает 1, следовательно, справедливо соотношение С < С₀, т. е. можно считать доказанным, что наличие помех снижает пропускную способность (и даже может сделать ее равной 0).