Методика изучения тригонометрических функций на уроках геометрии в 8-9 классах

В действующих учебниках геометрии (планиметрии) используются различные структуры изложения тригонометрических функций (таблица 16).

Таблица 16.

В учебнике А. В. Погорелова изложение тригонометрических функций осуществляется по схеме «от частного к общему», а в учебнике Л. С. Атанасяна и др. — «от общего к частному», причем в первом учебнике наблюдается связь изложения тригонометрических функций с изложением геометрического материала, тогда как во втором учебнике применение тригонометрических функций к обоснованию геометрических зависимостей более ограничено, чем в первом.

а) Введение понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольною треугольника Наиболее принципиальными вопросами методики изучения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника являются: 1) введение понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла и 2) доказательство зависимости их только от градусной меры угла.

• 1. Перед введением понятий синуса и косинуса угла желательно выполнить упражнения на выделение катетов прямоугольных треугольников, прилежащих к углу, противолежащих углу, на составление отношений катетов к гипотенузе.
• 2. После выполнения упражнений вводятся определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Рис. 95.

Опр. 1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (рис. 95). Обозначение, sin а.

Опр. 2. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначение, cos а.

Опр. 3. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Обозначение. tf*a.

3. Затем доказывается утверждение: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Доказательство основано на первом признаке подобия треугольников (В учебнике А. В. Погорелова аналогичное утверждение доказывается с помощью теоремы о пропорциональных отрезках). Действительно, пусть АВС и АВС — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и Ci и равными острыми углами А и А. Треугольники АВС и АВС подобны по первому при;

АВ ВС АС гг

знаку подобия треугольников, поэтому ——-. Из этих равенств.

А | В ^С | Л|С |.

ВС В.С. -АЛ А АС А, С.

следует, что —- ^{1 1}, то есть sin, А = sin А. Аналогично — = ?? ¹1, то есть.

⁷ АВ А_{В, АВ A_lB_i

ВС в с

cos, А = cos Аь и — = ^{1 1}, то есть tg, А = tg АЧто и требовалось доказать.

АС А) С_}

Из этого утверждения следует, что косинус угла (а также его синус) не зависит от расположения треугольника, а зависит только от градусной меры угла. Доказательство независимости тангенса острого угла от размеров треугольника следует из представления тангенса угла через отношение синуса и косинуса этого угла.

После доказательства этого утверждения необходимо выполнить с учащимися несколько упражнений на построение угла по заданному косинусу (синусу) этого угла.

Основное тригонометрическое тождество sin² Л + cos² А = 1 получается из равенств (1) и (2).

По теореме Пифагора ВС² + АС² = АВ поэтому sin² A+cosr А = 1.

После доказательства этих утверждений учащиеся находят сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°, а затем для угла 45°, при этом используются определения синуса, косинуса и тангенса угла, основное тригонометрическое тождество и теорема Пифагора.

В учебнике А. В. Погорелова понятие косинуса угла используется при доказательстве теоремы Пифагора, а в учебнике Л. С. Атанасяна и др. теорема Пифагора к этому времени уже доказана и доказательство её основано на понятиях площади квадрата и прямоугольника.

Тригонометрические функции острого угла используются для решения прямоугольных треугольников. Они позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны: зная две стороны, находить острые углы.

Доказательство утверждения о том, что для любого острого угла а sin (90° -a) = cosa, cos (90°-a) = sinar могут провести сами учащиеся, выполняя упражнение:

Упражнение. Дан прямоугольный треугольник АВС с острым углом а

при вершине А. Напишите значение синуса и косинуса углов А и В, сравните их и сделайте вывод.

В учебнике А. В. Погорслова рассматривается теорема об изменении sin а, cos а и tg «при возрастании угла «, в частности, об убывании cos а и ее доказательство. Она может быть «открыта» учащимися самостоятельно путем наблюдения за моделью, которая отражает эту зависимость.

Рис. 96.

Модель можно изготовить из спиц (рис. 96). Одна спица А В крепится неподвижно, другая спица АС закрепляется в точке А и может вращаться вокруг нее, занимая положения АСАС2 и т. д. Эта модель хорошо иллюстрирует зависимость между изменением угла «, который образуется спицами А В и АС и косинусом угла «(такую модель можно продемонстрировать и с помощью компьютера).

Следующий важный момент в изучении тригонометрических функций — введение sin а, cos а и tg а, где 0° < а < 180°.

б) Определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°.

Мотивация расширения области определения тригонометрических функций может быть осуществлена следующим образом. Учитель напоминает учащимся, что им уже известны некоторые зависимости между сторонами треугольника: 1) в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон; 2) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

Возникает вопрос. Нельзя ли так же определённо, как и для прямоугольного треугольника, выразить зависимость между сторонами любого треугольника? Такая зависимость существует. Однако для се выявления необходимо расширить понятие косинуса острого угла на любой угол от 0° до 180°.

В учебнике А. В. Погорелова это делается следующим образом. Берется окружность на плоскости ху с центром в точке О радиуса R (рис. 97). От положительной полуоси д" в верхнюю полуплоскость откладывается угол а.

Рис. 97.

Пусть х и у координаты точки А, тогда для острого угла a cosa = —, sina = —, tga = —.

R R x

Затем значения sin a, cos а и tg а определяются этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а ф 90°.).

При таком определении sin 90° = 1; cos 90° = 0; sin 180° =0; cos 180° = -1; Ig 180″ = 0.

Если считать, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь:

Необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что при изменении а от 0° до 180° каждому значению от соответствует единственное значение cos а и единственное значение sin а; при изменении а от 0° до 90° (0° < а < 90°) и от 90° до 180° (90°<�а< 180°) каждому значению а соответствует единственное значение tg а. Таким образом, косинус и синус являются функциями угла.

", где 0°<�ог¹⁸⁰°, а тангенс — функцией угла а, где 0°<�а<90°и 90° < а < 80°.

Функции sin a, cos а и tga называются тригонометрическими функциями. Введенное определение sin a, cos а и Наследует закрепить с помощью упражнений типа:

Упражнение. Вычислить cos 120°, sin 120° и tg 120°, используя определения sin a, cos а и tga .

После сообщения этих фактов доказывается теорема, что для любого угла а, 0° < а <180°.

Для угла а * 90″, tg (180°- а) = - tg а.

Необходимо подчеркнуть практическую значимость теоремы: она позволяет сводить вычисления sin a, cos, а (0″ <�а < 180°) и tg а, а* 90°, к вычислению синуса, косинуса и тангенса острого угла.

После определения косинуса угла а (0° < а < 180°) с учащимися обсуждается зависимость между сторонами треугольника, задаваемая теоремой косинусов. Следует обратить внимание учащихся на то, что теорема Пифагора является её частным случаем. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. доказательство теоремы косинусов основано на координатном методе (В учебнике А. В. Погорелова на векторном методе).

Затем сообщается и доказывается теорема синусов. Теорема синусов эффективна тогда, когда заданы два угла и сторона треугольника, теорема косинусов используется, если заданы две стороны и угол между ними. Далее выражается связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной (вписанной) окружности, площадью треугольника и произведением длин двух его сторон. Тригонометрические функции используются также при выводе формулы площади круга и формулы Герона.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. для 9 класса тригонометрическим функциям и соотношениям между сторонами и углами треугольника посвящена отдельная глава (см. Таблицу 1). В отличие от учебника А. В. Погорелова синус угла а (0 <�ог< 180') вводится здесь как ордината у точки М перечения луча И, образующего с положительной полуосью абсцисс угол а, и единичной полуокружности; косинус угла — абсцисса х точки М.

Определение синуса и косинуса угла а в учебнике являются генетическими определениями: вначале разъясняется происхождение точки М, а затем говорится, что «синусом угла «называется ордината у точки М, косинусом угла — абсцисса * точки М».

При введении понятий синуса и косинуса угла а полезно использовать модель, соответсвующую рисунку 98. Использование модели позволяет наглядно показать изменение значений функций cos а и sin а, при возрастании а от 0° до 180^и. Следует заметить, что в учебнике эта зависимость формулируется на созерцательной основе. Основное тригонометрическое тождество получается в данном случае автоматически.

Рис. 98.

Так как синус и косинус угла а определены соответственно как ордината и абсцисса точки М единичной полуокружности, то координаты (.*; у) любой точки М единичной полуокружности удовлетворяют уравнению х²+у² = 1. Заменяя х и у соответственно на cos а и sin а, получаем sin² or + cos² а = 1, (0° < а < 180°) — основное тригонометрическое тождество.

Историческая справка Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрайн» — измерять. В буквальном смысле «тригонометрия» означает «измерение треугольников». Как и всякая наука, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Войны, которые правители вели между собой, требовали умения определять большие расстояния и составлять карты местности. Землепашцу надо было знать смену времен года, чтобы своевременно производить необходимые сельскохозяйственные работы; лицам, связанным с исполнением религиозных обрядов, необходимо определять дни праздников и т. д.

Повседневная жизнь становилась немыслима без календаря. Все это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию — науку о движении небесных светил, а развитие астрономии было немыслимо без развития тригонометрии.

Астрономия, а вместе с ней и тригонометрия возникли и развивались у народов с развитой торговлей и сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. Зародилась она много веков назад. Об этом мы можем судить не только по догадкам, но и изучая письменные памятники древности. Указывается, что в одной китайской рукописи, написанной около 2637 г. до и. э., имеются сведения по астрономии и применяются вычисления тригонометрического характера.

Вавилоняне уже в начале третьего тысячелетия до н. з. имели календарь с делением года на 12 месяцев. Значит, они умели определять положения солнца и звезд на небесном своде, то есть владели некоторыми познаниями тригонометрического характера.

Названия тригонометрических функций сложились исторически на протяжении ряда веков. Слово «синус» индийского происхождения. Полную хорду индийцы называли «лжива», т. с. тетива лука. Позднее при переводах с индийского на арабский и с арабского на латинский язык подлинный смысл слова был искажен. Хотя слово «синус» никак не характеризует обозначаемой им тригонометрической функции, это название прочно вошло в математический язык во всем мире.

Понятия «косинус дуги», «тангенс дуги», «котангенс дуги» и другие впервые встречаются в книге «Шакл ул — Гита» знаменитого азербайджанскою ученого Насирэддина Т у с и. У него встречаются только соответствующие понятия, современных же терминов он не употребляет. Термины «косинус», «котангенс» и др. появились в XI—XVII вв.

Например, синус угла, дополняющий данный до 90°, называли «синусом дополнения» (по-латыни sinus complement). В дальнейшем этот символ претерпел такие изменения: sinus со, со. — sinus. В 1600 г. английский ученый Э. Г ё н т е р употребил впервые слово «cosinus», а в 1748 г. Эйлер впервые употребил современную запись cos х.

Сирийский ученый ал-Б, а т т, а н и (X в.) первым пришел к выводу, что острый угол в прямоугольном треугольнике можно определить отношением одного катета к другому.

Слово «тангенс» (касающийся) взято из латинского языка, в Европе введено Томасом Финком в 1583 г.

Первые тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Гиппарх. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея.

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Э д д и н, а (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы, но тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отмстить немецкого ученого Peru о монтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Леонард Эйлер (1707−1783). Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.