Виды функций принадлежности

Нечеткое множество, заданное в виде функции, записывается в формульном виде (формула описывает функцию принадлежности). Множество значений функции должно соответствовать единичному отрезку, значения аргумента должны охватывать всю предметную область X.

Рассмотрим нечеткие множества с функцией принадлежности треугольного и трапециевидного типа.

Треугольная функция принадлежности определяется на предметной области X = = [ai, a₂], на концах этого отрезка р (х) = 0. Максимальное значение (ц{х) = 1) достигается в точке а, а ^ а ^ а₂. Треугольную функцию принадлежности в виде формулы можно записать как.

где ai, а и «2 некоторые числа.

Треугольные функции принадлежности используются для определения термов «среднее значение», «скорее равно», «находится в интервале», «подобен объекту» и пр. График треугольной функции принадлежности, определяемой формулой (7.4), приведен на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Треугольная функция принадлежности.

Трапециевидная функция, принадлежности определяется на предметной области X = [ai, a₂], на концах этого отрезка р (х) = 0. Максимальное значение (fi (x) = 1) достигается на отрезке [а, 6], а ^ а ^ b ^ а₂. Трапециевидную функцию принадлежности в виде формулы можно записать следующим образом:

где а_ь а, Ь, а₂ — некоторые числа.

Трапециевидные функции принадлежности используются для определения термов, аналогичных треугольной функции. График трапециевидной функции принадлежности, определяемой формулой (7.5), приведен на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Трапециевидная функция принадлежности.

Изменяя значения входящих в формулы (7.4) и (7.5) параметров, можно гибко изменять вид функции принадлежности нечеткого множества, подстраивая его под конкретные условия. Например, можно приблизительно описать нечеткое множество,.

В ряде задач может потребоваться рассматривать функции принадлежности, задаваемых отдельными отрезками [кусочно-линейными функциями). Совместное использование различных функций принадлежности позволяет описать лингвистические переменные.

Пример 7.3. Рассмотрим лингвистическую переменную Xi = «Объем продаж». Она может быть задана терм-множеством Xi = {низкий; средний; высокий). Возможные нелегкие множества, соответствующие термам, представлены на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Представление лингвистической переменной «объем продаж».

Добавляя термы и задавая для них нечеткие множества, можно достаточно гибко описать лингвистическую переменную X?

Несмотря на довольно простую аналитическую форму задания треугольные и трапециевидные функции имеют недостатки, наиболее существенным из которых является скачкообразное изменение значений в некоторых точках (нарушение непрерывности). Для устранения этого недостатка часто используют гладкие кривые. Типичными примерами таких кривых являются гауссова и сигмоидальная функции.

и имеет колоколообразную форму (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Гауссова функция принадлежности.

Параметры а и b определяют вид функции. Значение Ь является наиболее характерным значением рассматриваемой величины и может быть получено от эксперта. Параметр а получается из формулы (7.6) при известном значении Ь и критическом значении Xf., понимаемым как точка, в которой р (х) = 0,5, т. е. эксперт не может однозначно определить, преобладает ли признак или нет. В этом случае формула (7.6) имеет вид.

откуда Пример 7.4. Эксперт посчитал, что объем продаж в количестве 7 000 единиц товара является наиболее характерным значением для понятия «средние продажи». В то же время он затруднился сказать, являются ли продажи 6300 единиц средними или низкими. Определить параметры гауссовой функции, описывающей нечеткое множество «средние продажи».

т.е. гауссова функция имеет вид.

По графику этой функции можно производить оценки нечетких значений. ?

Трапециевидные функции принадлежности используются для определения термов «в пределах от и до», «около», «примерно равно» и т. д.

Сигмоидальная функция задается следующим образом:

и имеет Z-образную (при а ^ 0) или 5-образную (при а < 0) форму. На рис. 7.8 приведен вид 5-образной сигмоидной функции.

Рис. 7.8. 5-образная сигмоидная функция.

Параметры а и Ь сигмоидной функции можно получить от экспертов. Величина 6 определяет координату на оси абсцисс, в которой //(х) = 0,5. Значение а определяет степень наклона кривой и находится из формулы (7.8) для такого минимального значения х*, дтя которого с практически полной уверенностью (//(х*) = 0,99) можно считать, что оно принадлежит нечеткому множеству. В этом случае формула (7.8) примет вид.

откуда путем несложных преобразований имеем.

Таким образом, для определения параметров сигмоидной функции следует получить от эксперта всего два значения.