Определение нормальных напряжений при изгибе

Метод сечений дает возможность определить поперечную силу и изгибающий момент в сечении. Выяснение же закона распределения напряжений по сечению можно выполнить только на основании рассмотрения деформаций.

Если подвергнуть чистому плоскому изгибу балку с нанесенной на поверхность сеткой (см. рис. 2.57, а, б), то можно сделать следующие выводы:

• линии п-п и т-т на поверхности балки после деформации повернулись на угол с/ф, оставаясь при этом прямыми. Прямые углы сетки не изменились. Это свидетельствует о том, что касательные напряжения в поперечных сечениях равны нулю;

• волокно ab удлинилось, волокно ef укоротилось, а cd осталось без изменения. Слой балки на уровне волокна cd называется нейтральным слоем.

Можно также заметить, что волокна балки деформируются поразному; большие деформации у волокон, наиболее удаленных от нейтрального слоя.

Определим закон изменения деРис. 2.57.

формации по высоте сечения балки.

Отрезок Ь Ъ" является полным удлинением волокна ab, длина которого до деформации была равна длине волокна cd, принадлежащего нейтральному слою.

Относительная деформация:

где р — радиус кривизны нейтрального слоя; у — расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна.

Поскольку волокно бруса при изгибе растягивается или сжимается, применим закон Гука:

В соответствии с формулой (2.83) нормальные напряжения при изгибе изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Наибольшие напряжения будут у верхнего и нижнего краев сечения, как это показано на эпюре (рис. 2.58).

Рис. 2.58.

Установив закон распределения напряжений, можно их определить, исходя из условия равновесия.

Выделим в площади поперечного сечения элементарную площадку dA, отстоящую на расстоянии у от нейтральной оси, проходящей через нейтральный слой (рис. 2.59).

Рис. 2.59.

Нормальная элементарная сила, действующая на этой площадке с учетом выражения (2.83):

Для равновесия рассматриваемой части балки (см. рис. 2.59) необходимо, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси х, у и z и суммы моментов относительно этих осей были равны нулю (YjF_v = 0,^F_t =0), так как внутренние силы odA перпендикулярны.

Е г этим осям; " YF.=0 или, с учетом уравнения (2.84), — fydA = 0. Отно;

Ра шение Е/р не может быть равно нулю, так как отличны от нуля и модуль упругости Е, и кривизна нейтрального слоя.

Следовательно, интеграл:

Он представляет собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Статический момент равен нулю в том случае, если он взят относительно центральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. Отсюда следует важный вывод о том, что нейтральная ось всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

Элементарный момент внутренней силы, действующей на площадке dA относительно нейтральной оси z-

Сумма всех элементарных моментов внутренних сил упругости по условию равновесия равна внешнему моменту, т. е.:

где ^y²dA = 0 — момент инерции поперечного сечения балки относи;

А

тельно нейтральной оси z- откуда:

Формула (2.85) является основной формулой теории изгиба. Величина 1/р представляет собой кривизну изогнутой оси балки и характеризует величину деформации при изгибе.

Из полученной формулы следует, что деформация при изгибе прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению EJ, которое называется жесткостью балки при изгибе.

Подставим значения 1/р в формулу (2.84):

Формула (2.86) позволяет определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки, если известны изгибающий момент и момент инерции сечения.

На отсеченную часть балки может действовать не один внешний момент, как на рис. 2.59, а несколько, а также любая другая нагрузка в виде сосредоточенных сил и распределенных нагрузок. В этом случае уравнение равновесия ^ Mz = jdF? у = 0 содержит алгебраическую.

А

сумму моментов от всех внешних нагрузок, равную изгибающему моменту в сечении М_н. Поэтому в дальнейшем вместо суммы внешних моментов в формулы следует подставлять изгибающий момент в сечении.

Формула (2.86) соответствует чистому изгибу. При поперечном изгибе в поперечных сечениях кроме нормальных действуют и касательные напряжения, вызывающие деформацию сдвига. Вследствие этого гипотеза плоских сечений теряет свою силу. Однако опыт показывает, что, несмотря на это, формула (2.86) дает достаточно точные результаты и при поперечном изгибе, поэтому в дальнейшем при определении нормальных напряжений не следует делать различия между чистым и поперечным изгибом.