Частотный критерий устойчивости Михайлова

Исходным при анализе замкнутой системы на устойчивость по критерию А. В. Михайлова (русский математик, разработавший этот критерий в 1930 г.) также является характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Заменив в этом уравнении оператор Лапласа р на выражение /со в соответствующей степени, получают аналитическое выражение вектора Михайлова, который делят на действительную и мнимую части:

Далее строят годограф вектора Михайлова — кривую, которая описывает конец этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты со от 0 до оо.

Определение: замкнутая система будет устойчивой, если годограф вектора Михайлова (при со = 0), начиная свое движение с.

Рис. 12.11. Примеры годографов Михайлова, соответствующих устойчивым и неустойчивой САУ.

положительной действительной полуоси комплексной плоскости (я₀ > 0), двигаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, последовательно обходит столько квадрантов комплексной плоскости, каков порядок исходного характеристического уравнения замкнутой системы, и уходит в последнем квадранте в бесконечность.

На рис. 12.11 даны примеры годографов Михайлова, соответствующих устойчивым и неустойчивым САУ.

Критерий устойчивости Михайлова удобно применять для систем высокого порядка, т. е. с п = 6, 8, 10. При делении аналитического выражения вектора Михайлова на действительную и мнимую части в первую — попадают члены с четной степенью, так как /²= -1, /⁴ = +1, /⁶ = -1, а в последнюю — с нечетной, так как /' = /, /³= -/, /⁵= /. При построении годографа Михайлова, задавая значения со 1, — с высокими.