Общие сведения. 
Электротехника (теория электрических цепей)

Особенности и трудности анализа нелинейных цепей.

Для линейных электрических цепей справедлив принцип наложения, благодаря которому они полностью характеризуются реакцией цепи на воздействие в виде импульсной функции 8(?) при нулевых начальных условиях. Достаточно располагать импульсной характеристикой цепи h (t) (которую можно снять экспериментально), чтобы судить о ее поведении при произвольной форме воздействия. Наличие хотя бы одного нелинейного элемента в цепи резко усложняет ситуацию. В этом случае динамическая цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением или системой уравнений, для которых отсутствуют общие аналитические методы решения. Точное решение уравнений в аналитической форме удается получить только в простейших частных случаях для специально подобранных характеристик нелинейных элементов. Наличие двух типов активных и двух типов реактивных элементов служит дополнительным препятствием на пути создания общих методов анализа нелинейных цепей. В то же время нелинейные цепи (по сравнению с линейными) обладают весьма широкими функциональными возможностями, позволяя выполнять такие функции, как генерирование колебаний различной формы, преобразование частоты, модуляция, детектирование, импульсные преобразования и многие другие. Отсутствие общих аналитических методов анализа цепей (несмотря на большой практический интерес) затрудняет выявление их свойств и характеристик.

Таким образом, трудности решения задачи анализа нелинейных электрических цепей связаны с отсутствием общих аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений и возможности выделить простое общее свойство цепей, на основе которого можно было бы разработать общий метод анализа. Поэтому для анализа нелинейных цепей разработан широкий арсенал методов анализа, каждый из которых в отдельности обладает своими достоинствами и недостатками и имеет собственную область применения.

Классификация методов анализа. Широкое многообразие методов анализа нелинейных цепей затрудняет их классификацию. Поэтому выделим лишь основные классификационные признаки, чтобы на основании краткого обзора и рассмотрения некоторых из методов дать общее представление о проблемах анализа нелинейных цепей.

По назначению методы анализа нелинейных цепей можно разделить на методы, предназначенные для анализа:

• • резистивных цепей. Выделение в самостоятельный класс и отдельное рассмотрение резистивных цепей можно объяснить следующими соображениями:
• — необходимостью проведения анализа электронной цепи на постоянном токе с целью выбора рабочей точки или статического режима работы в отсутствие воздействующего колебания. Такой анализ автоматически выполняется компьютерными средствами схемотехнического моделирования перед временным анализом (расчетом переходных процессов),
• — уравнения динамических цепей часто составляются с явным выделением резистивной подцепи (метод переменных состояния). В этом случае задача анализа при использовании численного алгоритма ее решения сводится на каждом шаге итерации к задаче анализа резистивной подцепи, что значительно проще, так как резистивные цени описываются функциональными (алгебраическими или трансцендентными) уравнениями.

Методы анализа нелинейных резистивных цепей в дальнейшем не рассматриваются, поскольку им посвящены отдельные разделы в учебниках по теории нелинейных цепей [ 10, 19, 33|. В п. 10.2 приведено краткое изложение численных методов решения функциональных уравнений;

• динамических цепей, которым, по сути дела, и посвящено дальнейшее изложение.

С точки зрения цели, а и, а л и з, а методы можно подразделить на две группы:

• • методы качественного анализа, цель которого состоит в том, чтобы, не решая уравнений, выявить наиболее важные характерные черты процессов в цепи и влияние на них параметров и характеристик элементов. Например, при анализе автогенератора (автономной цепи) представляет интерес выявить условия появления незатухающих колебаний, определить состояния равновесия, их устойчивость, установить влияние начальных условий на характер процессов. К качественным методам относятся широко распространенные в теории колебаний методы фазовой плоскости (фазового пространства), построения траекторий решения уравнений в пространстве состояний и др.;
• • приближенные методы количественного анализа, которые дают решения уравнений для заданных в численном виде конкретных значений элементов и их характеристик. К ним, например, относятся:
• — численные методы (см. п. 10.3), использующие алгоритмы приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые сводят решение уравнений к конечному числу арифметических операций. Численные методы реализуются с помощью современных вычислительных средств и применимы к системам уравнений, имеющим единственное решение,
• — кусочно-линейный метод, или метод кусочно-линейной аппроксимации, основанный на замене нелинейных характеристик кусочно-линейными функциями. Благодаря линеаризации цепи на отдельных участках характеристики при анализе можно использовать методы теории линейных цепей. Для каждого отдельного участка отыскивается решение. Найденные решения сшивают (или, как говорят, припасовывают), получая общее решение для исследуемой цепи. Этот метод анализа весьма эффективен и применяется для широкого класса нелинейных цепей.

По способу представления воздействий и отклик о в различают:

• • частотные методы анализа, к которым можно отнести модификацию метода комплексной переменной для нелинейных цепей, метод гармонического баланса, метод линеаризации и др.;
• • временные методы анализа, базирующие на непосредственном решении дифференциальных уравнений.

По исследуемому режиму работы следует выделить:

• • методы анализа переходного процесса (режима). Эта группа объединяет методы, отличающиеся способами представления и решения дифференциальных уравнений цепи;
• • методы анализа установившегося процесса (стационарного режима). Эту группу методов можно разделить на две подгруппы:
• — методы, основанные на переходе от системы дифференциальных уравнений, описывающих исследуемое устройство, к системе алгебраических или трансцендентных уравнений с последующим ее решением каким-либо из известных численных методов (см. п. 10.4),
• — методы, основанные на использовании функциональных рядов (см. п. 10.7).

По области п р и л о ж е н и й (практического применения) можно выделить:

• • методы теории цепей, которые появились и разрабатывались применительно к нелинейным цепям;
• • методы теории колебаний, которые появились в результате исследования колебаний и периодических движений (см. п. 10.6);
• • методы теории нелинейных систем и др.

По степени аналитичности метода анализа. Этот классификационный признак предложен в работе [34]. Он отражает степень полноты априорной информации об анализируемой цепи, которая определяет возможность вывода тех или иных аналитических соотношений, составляющих концепцию метода. Между количеством априорной информации об анализируемой цени и степенью аналитичности метода анализа существует взаимосвязь. Увеличение априорной информации ведет к сужению класса анализируемых цепей, увеличению аналитичности метода и повышению эффективности анализа. В соответствии с этим признаком методы анализа условно разделены:

• • на методы численного интегрирования дифференциальных уравнений (см. п. 10.3), которые используются на первом этапе анализа нелинейной цепи. Результатом анализа является найденный отклик исследуемой цепи как функции времени. На втором этапе выполняется расчет необходимых компонентов спектра установившегося процесса, т. е. определение амплитуд и фаз тех частотных компонентов, которые определяют параметры анализируемого устройства. Метод требует минимальной априорной информации о цепи и позволяет решить задачу анализа при различных уровнях и форме входного воздействия. Его недостаток: анализ стационарного режима требует временных затрат на расчет переходного процесса;
• • на аналитико-численные методы, концепции которых строятся на основании некоторой априорной информации об анализируемой цепи. Эти методы оказываются более эффективными, поскольку аналитические соотношения, положенные в их основу, учитывают специфику цепи. К группе аналитико-численных методов отнесены поисковые методы, метод гармонического баланса и проекционные методы:
• — поисковые методы (см. и. 10.4), сущность которых заключается в нахождении начальных условий для установившегося режима на основании известных свойств цепи, чтобы избежать предварительного расчета переходного процесса,
• — метод гармонического баланса (см. п. 10.4). Он строится на предположении, что искомую переменную (ток или напряжение) можно представить в виде усеченного ряда Фурье с неизвестными амплитудами. После подстановки усеченного ряда в дифференциальные уравнения переходят к более простой (алгебраической) системе уравнений, которую решают методом неопределенных коэффициентов (приравниваются коэффициенты, содержащие sin Асаt и cosAcot с одинаковыми значениями k в левой и правой частях). Недостаток метода — при увеличении числа членов ряда Фурье резко возрастают сложность анализа и временные затраты,
• — проекционные (вариационные) методы, которые используются для анализа цепей при большом уровне воздействия. Сущность методов: аналогично методу гармонического баланса решение представляется в виде укороченного ряда Фурье с неизвестными коэффициентами (амплитудами). Анализ представляет собой итерационную процедуру, на каждом шаге которой определяются тем или иным способом неизвестные коэффициенты и строится вектор невязки, зависящий от них как от параметров. Коэффициенты определяются в результате минимизации невязки, для вычисления которой можно использовать быстрое преобразование Фурье. Процедурно проекционные методы сводятся к тем же математическим операциям, что и методы гармонического баланса,
• — аналитические методы с использованием функциональных рядов Вольтерра (см. п. 10.7.). Априорно предполагается существование решения системы уравнений цепи в виде ряда Вольтерра, что накладывает достаточно жесткие ограничения на нелинейную цепь (уровень сигналов, степень нелинейности). Вместе с тем используется аналитическое представление операторов, связывающих входное воздействие с искомым откликом цепи.

Дальнейшее изложение посвящено некоторым методам анализа. В п. 10.5 рассмотрен метод синтеза кратных преобразователей частоты по энергетическим критериям.