Уравнение баланса полной энергии

Удельная полная энергия Е равна сумме удельных внут;

v²

ренней и кинетической энергии Е = и + —. Закон сохранения полной энергии является обобщением первого начала термодинамики для движения сплошных сред и формулируется следующим образом: индивидуальная производная по времени от полной энергии массы среды, содержащейся в движущемся объеме V, равна сумме мощностей, приложенных к выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к единице времени количества тепловой и немеханических видов энергии, подведенной извне к данной массе. Этот закон выражается в следующей интегральной форме:

где pf_mv (—yj — удельная мощность объемных сил; =-(^Вт

Р_п v I—y I — удельная мощность поверхностных сил; (Вт

q — — удельная, отнесенная к единице массы, тепловая.

кг)

и иные немеханические виды мощности, подведенные извне.

Третий интеграл в правой части уравнения (1.30) выражается суммой:

" (Вт)

где q —у — удельная, отнесенная к единице площади по- м)

(Вт)

верхности тепловая мощность; q_v I ?—у — удельная мощность объемных немеханических источников энергии.

Для многих случаев течения сплошных сред можно полагать q_v = 0 и уравнение (1.30) записывают в виде:

Интегральная форма записи уравнения баланса энергии может быть преобразована к алгебраической. Для этого область течения разбивается на конечное число фиксированных в пространстве малых, но конечных контрольных объемов (КО) — V. Полагают, что в пределах КО параметры изменяются линейно или экспоненциально по пространственным координатам и времени. Производные заменяются отношением приращения функций к приращениям аргументов, например:

где индексы (/?), (л + г), (л + l) соответствуют моментам времени f соответственно, значениям.

0 < ? < 1 соответствуют неявные схемы, значению е = 0 — явная схема. Интегралы заменяются произведениями средних значений по площади AS или объему V на эти площади и объемы:

Тогда уравнение баланса полной энергии (1.32) для каждого контрольного объема V записывается в виде:

где лАГ — число граней контрольного объема, К — номер грани.

Таким образом, (1.35) представляет собой уравнение баланса полной энергии в алгебраической форме. Это уравнение может быть использовано при построении ряда вычислительных алгоритмов для расчета течений. Для получения дифференциального уравнения баланса полной энергии преобразуем левую часть (1.23), используя закон сохранения массы:

Поверхностный интеграл в правой части (1.23) преобразуем в объемный по формуле Ос гроградского-Гаусса.

Тогда из (1.23) получим:

Ввиду произвольности V можно приравнять нулю подынтегральную функцию в (1.36):

Уравнение (1.37) представляет собой уравнение баланса.

v²

полной энергии Е = и+— в дифференциальной форме.

и²

Уравнение баланса полной энергии E_i = и, — ±^~,

(i = 1,2,…, N), (где N — число фаз в интегральной форме) для /-й фазы аналогично (1.32), однако включает в себя слагаемое.

N

IZ E-dV, которое характеризуется интенсивностью обме;

V /=1.

j*i

на энергией между /-и и /-й фазами.

Аналогично (1.37) получается дифференциальное уравнение баланса полной энергии для /-Й фазы (/' = 1,2,…, N).

Модели энергетического взаимодействия фаз Е₇ рассматриваются в специальной литературе.