Отображения. 
Математика для педагогических специальностей

Вернемся к началу данного параграфа. Там мы начинали с рассмотрения соответствий между двумя множествами, которые по существу являются бинарными отношениями. Выделим теперь среди этих соответствий такие, когда для любого элемента первого множества найдется единственный элемент во втором множестве, который ему соответствует, т. е. находится с ним в данном отношении. Такие соответствия между двумя множествами в математике называются отображениями.

Определение 2.14. Отображением / из множества X в множество Y называется такое бинарное отношение между данными множествами, что для любого элемента хе X найдется единственный элемент у е У, такой что.

(*, у) € /.

Элемент у называют образом элемента х, а элемент х — прообразом элемента у.

Изобразить отображение из множества X в множество Y можно с помощью ориентированного графа (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Отображение На самом деле отображение имеет другое, хорошо вам известное название — функция. В школе вы рассматривали и общее понятие функции, и различные виды функций. Однако вы не знали, что функция (или отображение) — это особый вид бинарного отношения.

На рис. 2.13 показаны разные виды отображений.

Рис. 2.13. Различные виды отображений Каждое из приведенных отображений (функций) имеет определение и свое название. О них вы подробнее узнаете, когда будете изучать функции. Нас же будет интересовать последнее отображение, которое носит название взаимно-однозначного отображения, или взаимно-однозначного соответствия. Его особенным свойством является то, что каждому элементу х из X соответствует единственный образ (элемент у из У: у = = h (x)) и для каждого элемента у из Y есть единственный его прообраз х е е X: (h (x) = у).

Обратите внимание, что в случае взаимно-однозначного отображения множество X отображается на множество У, так как при данном отображении все элементы множества У являются образами элементов множества X.

Используя взаимно-однозначное отображение, сравнивают множества. Мы пока не касались вопроса о сравнении двух множеств. Можно предположить, что для сравнения двух множеств нужно знать, сколько элементов в каждом. То, в котором больше элементов, и будет «больше». Но этот принцип сравнения, оказывается, можно применить только для конечных множеств. А что делать, если множества — бесконечные?

Для этого существует понятие «мощность множества». Мощность бесконечного множества — это аналог понятия «число элементов» для конечного.

Когда же два бесконечных множества имеют одинаковую мощность?

Определение 2.15. Множества А и В имеют одинаковую мощность

(или являются равномощными), если существует взаимно-однозначное отображение множества А на множество В.

Среди всех бесконечных множеств можно выделить те, что равномощны множеству натуральных чисел. Такие множества называются счетными.

Для того чтобы доказать, что некоторое бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел (т.е. счетно), нужно придумать правило, чтобы занумеровать все элементы данного множества, это и будет означать установление взаимно-однозначного соответствия с множеством натуральных чисел.

Приведем несколько примеров счетных множеств.

Докажем, что множество нечетных натуральных чисел счетно.

Решение

Запишем это множество: {1, 3, 5, 7,2п — 1, Занумеруем элементы этого множества следующим образом: 1 —> 1 (№ 1); 3 —> 2 (№ 2); 5 —" 3 (№ 3); …. Любому нечетному числу вида 2п — 1 будет соответствовать номер п. Другими словами, мы нашли правило, по которому занумерован! все нечетные натуральные числа. Это означает, что это множество счетно.

Очевидно (а почему?), что множество всех натуральных чисел — счетно. Множество нечетных натуральных чисел является его несобственным подмножеством. Казалось бы, мощность его должна быть меньше, чем мощность множества натуральных чисел. Но это не так. Мы только что доказали, что они равномощны.

Пример 2.9.

Докажем, что множество всех целых чисел счетно. Решение

Запишем множество целых чисел в две строчки:

Будем нумеровать их в том порядке, как показывают стрелки: 0 — № 1; -1 — № 2; 1 — № 3; -2 — № 4; 2 — № 5,… В результате все неотрицательные числа получат нечетные номера, а отрицательные — четные. Таким образом мы занумеруем все целые числа, а значит, получим то, что и требовалось доказать.

Пример 2.10.

Докажем, что множество рациональных чисел счетно.

Решение

Напомним, что любое рациональное число можно представить в виде дроби. Запишем сначала все положительные рациональные числа в таблицу:

Выделим в таблице квадраты, показанные жирными линиями, и будем нумеровать числа в каждом квадрате последовательно, но следующим правилам.

1. Если одно число в таблице встречается несколько раз (например, у, —,…), то его занумеровывают только при первой встрече, дальше пропускают.

• 2. В каждом квадрате числа можно нумеровать в любом порядке, не пропуская ни одного, кроме равных уже ранее встречавшимся.
• 3. После нумерации чисел в любом квадрате (начиная с первого 2×2) переходят к нумерации в следующем, который содержит предыдущий.

Используя эти правила, мы будем нумеровать числа следующим образом. В пер;

• 1 2 1 2 вом квадрате - получит № 1; — — № 2; — — № 3; — — пропускаем.
• 1 2 3 3 3

Во втором квадрате — — № 4; — — № 5; — — пропускаем; — — № 6; — — № 7 и т. д.

Таким образом, все положительные рациональные числа можно занумеровать натуральными числами. Теперь нужно добавить отрицательные рациональные числа и число 0. Для этого можно составить аналогичную таблицу для отрицательных рациональных чисел. Тогда 0 можно занумеровать № 1, остальные положительные рациональные числа занумеровать нечетными натуральными числами начиная с 3. Отрицательные рациональные числа занумеровывают четными натуральными числами.

Мы показали, что множество рациональных чисел счетно.

Кроме счетных бесконечных множеств существуют и несчетные множества. Мощность этих множеств может быть различной.

Например, можно доказать, что множество действительных чисел М не является счетным^[1].

Если какое-то множество равномощно множеству действительных чисел, то говорят, что оно имеет мощность континуума. Множество действительных чисел на промежутке от 0 до 1 имеет мощность континуума.

Вообще вопрос о мощности множеств очень сложный. Можно себе поставить несколько вопросов. Бывают ли бесконечные множества, мощность которых отлична от континуума? Является ли мощность континуума самой большой? Можно ли найти множество самой большой мощности? Какова мощность множества всех звезд космического пространства?

Постарайтесь самостоятельно найти информацию для ответа на поставленные вопросы или те вопросы, которые у вас могут еще возникнуть.

• [1] Для тех, кого интересует, как это можно доказать, советуем обратиться к учебнику: Математика и информатика / под ред. В. Д. Будаева, II. Л. Стефановой. М.: Высшая школа, 2004. Там это доказательство помещено на с. 94—95.